El universo elegante (49 page)

Emocionados por el contacto aparente que habíamos establecido con la conjetura de Dixon-Lerche-Vafa-Warner, Plesser y yo planteamos de manera apremiante la pregunta esencial: aparte del número de familias de partículas, ¿estos dos espacios de Calabi-Yau diferentes coinciden en el resto de sus propiedades físicas? Después de un par de meses más de análisis matemático arduo y minucioso, durante el cual recibimos la valiosa inspiración y el inapreciable aliento de Grahan Ross, el asesor de mi tesis en Oxford, y también de Vafa, Plesser y yo conseguimos argumentar que la respuesta era un sí absolutamente definitivo. Por razones matemáticas que tenían relación con el intercambio par-impar, Plesser y yo acuñamos el término
copias especulares
para designar los espacios de Calabi-Yau equivalentes físicamente, aunque geométricamente distintos.
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Los espacios individuales que constituyen un par-espejo de espacios de Calabi-Yau no son entre sí literalmente como imágenes especulares, en el sentido habitual. Sin embargo, a pesar de que tienen propiedades geométricas diferentes, dan lugar a un único universo físico cuando se utilizan para las dimensiones adicionales en la teoría de cuerdas.

Las semanas siguientes al hallazgo de este resultado fueron una época de extrema ansiedad. Plesser y yo sabíamos que nos hallábamos inmersos en una parcela nueva e importante de la física de cuerdas. Habíamos demostrado que la estrecha asociación entre geometría y física, establecida originalmente por Einstein, quedaba sustancialmente modificada por la teoría de cuerdas: unas formas geométricas drásticamente diferentes, y que implicarían unas propiedades físicas diferentes dentro de la relatividad general, estaban dando lugar a propiedades físicas idénticas dentro de la teoría de cuerdas. Pero ¿qué sucedería si nos habíamos equivocado? ¿Qué pasaría si sus implicaciones físicas diferían de algún modo sutil que hubiéramos pasado por alto? Cuando mostramos nuestros resultados a Yau, por ejemplo, éste afirmó educadamente pero con firmeza que probablemente habíamos cometido un error; Yau sostenía que, desde un punto de vista matemático, nuestros resultados eran demasiado extravagantes para ser ciertos. Su valoración nos hizo detener nuestro trabajo durante bastante tiempo. Una cosa es cometer un error en una cuestión modesta o de poco bulto que no llama mucho la atención, pero nuestro descubrimiento, sin embargo, sugería la posibilidad de dar un paso inesperado en una nueva dirección que ciertamente provocaría una fuerte reacción. Si nos equivocábamos, se iba a enterar todo el mundo.

Finalmente, después de mucho comprobar y revisar, nuestra confianza creció y enviamos nuestro trabajo para que fuera publicado. Unos pocos días más tarde, estaba sentado en mi despacho de Harvard y el teléfono sonó. Era Philip Candelas de la Universidad de Texas, que me preguntó inmediatamente si estaba sentado. Lo estaba.

Entonces me dijo que él y dos de sus discípulos, Monika Lynker y Rolf Schimmrigk, habían descubierto algo que iba a hacer que me cayera de la silla. Examinando minuciosamente un amplio conjunto de muestras de espacios de Calabi-Yau que ellos habían generado por ordenador, descubrieron que casi todos se presentaban en parejas que diferían precisamente por el intercambio de números pares e impares de agujeros. Le dije que aún estaba sobre mi silla —y que Plesser y yo habíamos descubierto el mismo resultado—. El trabajo de Candelas y el nuestro resultaron ser complementarios; habíamos dado un paso hacia delante en la demostración de que toda la física resultante en un par de espacios-espejo era idéntica, mientras que Candelas y sus discípulos habían demostrado que una muestra significativamente grande de formas de Calabi-Yau aparecían en forma de pares de espacios especulares. Mediante ambos trabajos habíamos descubierto la
simetría especular
de la teoría de cuerdas.
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La flexibilización de la asociación única y rígida establecida por Einstein entre la geometría del espacio y las propiedades físicas observadas es una de las innovaciones paradigmáticas más impactantes de la teoría de cuerdas. Sin embargo, estos avances llevan implícito mucho más que un cambio de postura filosófica. La simetría especular, en particular, aporta un instrumento poderoso para comprender, tanto la física de la teoría de cuerdas, como las matemáticas de los espacios de Calabi-Yau.

Los matemáticos que trabajaban en un campo llamado geometría algebraica habían estado estudiando los espacios de Calabi-Yau por razones puramente matemáticas mucho antes de que se descubriera la teoría de cuerdas. Habían desarrollado muchas de las propiedades detalladas de estos espacios geométricos, sin sospechar que existiría una futura aplicación física. Sin embargo, ciertos aspectos de los espacios de Calabi-Yau demostraron ser difíciles —prácticamente imposibles— de descifrar completamente, pese a los esfuerzos de los matemáticos. Pero el descubrimiento de la simetría especular en la teoría de cuerdas cambió esta situación significativamente. En esencia, la simetría especular proclama que ciertas parejas especiales de espacios de Calabi-Yau, parejas de las que previamente se pensó que no estaban relacionadas en absoluto, están ahora íntimamente conectadas mediante la teoría de cuerdas. Los espacios de estas parejas están vinculados entre sí por el universo físico común que determina cada uno de ellos, si cualquiera de los dos es el que se selecciona para las dimensiones adicionales arrolladas. Esta interrelación, previamente insospechada, proporciona una nueva e incisiva herramienta física y matemática.

Supongamos, por ejemplo, que estamos calculando arduamente las propiedades físicas —masas y cargas de fuerza de las partículas— asociadas con una posible opción de Calabi-Yau para las dimensiones adicionales. No nos preocupa especialmente confrontar cada uno de los resultados con los de algún experimento, ya que, como hemos visto anteriormente, hay ciertos obstáculos teóricos y tecnológicos que hacen esto bastante difícil en la actualidad. En vez de eso, estamos analizando un experimento teórico relativo al aspecto que tendría el universo si un espacio concreto de Calabi-Yau
fuera
seleccionado. Durante cierto tiempo, todo va bien, pero luego, a la mitad de nuestro trabajo, nos encontramos con un cálculo matemático cuya dificultad es un obstáculo insalvable. Nadie, ni siquiera el matemático más experto del mundo, puede explicar el modo de realizarlo. Nos quedamos atascados. Pero, entonces nos damos cuenta de que este espacio de Calabi-Yau tiene una pareja-espejo. Dado que la física de cuerdas resultante asociada con cada miembro de una pareja— espejo es la misma, constatamos que somos libres de realizar nuestros cálculos utilizando cualquiera de los dos espacios de la pareja. Y así, reelaboramos ese cálculo que era tan difícil en el espacio de Calabi-Yau original, en términos de un cálculo que se realiza en su espejo, teniendo garantizado que el resultado del cálculo —la física— será igual. A primera vista se podría pensar que la versión reelaborada del cálculo será tan difícil como la versión original. Pero, aquí nos encontramos con una agradable y enorme sorpresa: descubrimos que, aunque el resultado es el mismo, la forma detallada del cálculo es muy diferente y, en algunos casos, el cálculo horriblemente difícil con el que habíamos empezado se convierte en un cálculo extremadamente fácil en el espacio-espejo de Calabi-Yau. No hay una explicación sencilla que aclare por qué sucede esto, pero —al menos en el caso de ciertos cálculos— está totalmente claro que sucede, y la disminución en el nivel de dificultad puede ser drástica. La consecuencia, desde luego, está clara: ya no nos quedamos atascados.

Es algo así como si alguien nos pide que contemos exactamente el número de naranjas que se han echado a la buena de Dios hasta llenar un enorme contenedor de unos 15 metros por cada lado y alrededor de 3 metros de profundidad. Si empezamos a contarlas de una en una, pronto nos damos cuenta de que la tarea es demasiado laboriosa. Pero, afortunadamente llega un amigo que estaba presente cuando llegaron allí las naranjas. Nos cuenta que venían embaladas en unas cajas de menor tamaño (por casualidad, él trae una en la mano) y que, cuando estaban apiladas, había 20 cajas a lo largo, 20 a lo ancho y 20 a lo alto. Calculamos rápidamente que las naranjas llegaron en 8.000 cajas y todo lo que tenemos que hacer es calcular cuántas naranjas estaban embaladas en cada caja. Esto lo podemos averiguar fácilmente pidiéndole la caja prestada a nuestro amigo y llenándola de naranjas, y así podremos realizar la ingente tarea de recuento casi sin esfuerzo. En esencia, reorganizando el cálculo inteligentemente, hemos sido capaces de hacer que fuera mucho más fácil de llevar a cabo.

La situación es similar en el caso de muchos cálculos que se han de realizar en el marco de la teoría de cuerdas. Desde la perspectiva de un espacio de Calabi-Yau, un cálculo podría contener un enorme número de pasos matemáticos difíciles. Sin embargo, trasladando el cálculo a su espejo, es posible reorganizarlo de una manera mucho más eficiente, permitiendo así su realización con una relativa facilidad. Esta idea la planteamos Plesser y yo, y Candelas la puso en práctica formidablemente en un trabajo posterior realizado con sus colaboradores, Xenia de la Ossa y Linda Parkes, de la Universidad de Texas, y Paul Green, de la Universidad de Maryland. Demostraron que ciertos cálculos de una dificultad casi inimaginable se podían realizar utilizando el procedimiento especular, con unas pocas páginas de álgebra y un ordenador personal.

Fue un avance especialmente interesante para los matemáticos, porque algunos de estos cálculos eran precisamente aquellos en los que se habían quedado atascados durante muchos años. La teoría de cuerdas —al menos así lo proclamaban los físicos— les había ganado adelantando la solución.

Ahora bien, tenemos que recordar que entre los matemáticos y los físicos existe un sano espíritu competitivo, generalmente bien intencionado. En este sentido, resulta que dos matemáticos noruegos —Geir Ellingsrud y Stein Arilde Stremme— estaban trabajando en uno de los numerosos cálculos que Candelas y sus colaboradores resolvieron con éxito mediante la simetría especular. Dicho en pocas palabras, se trataba de calcular el número de esferas que se podían «embalar» dentro de un espacio determinado de Calabi-Yau, algo parecido a nuestra analogía del recuento de las naranjas que caben en un enorme contenedor. En una reunión de físicos y matemáticos celebrada en Berkeley en 1991, Candelas anunció el resultado obtenido por su grupo utilizando la teoría de cuerdas y la simetría especular: 317.206.375. Ellingsrud y Stremme anunciaron el resultado de su extraordinariamente difícil cálculo matemático: 2.682.549.425. Durante varios días, los matemáticos y los físicos sostuvieron un debate: ¿quién tenía razón? El asunto se convirtió en una auténtica prueba definitiva sobre la fiabilidad cuantitativa de la teoría de cuerdas. Varias personas llegaron incluso a comentar —un poco en broma— que esta prueba era la cosa más sublime, inmediatamente detrás de la posibilidad de ser capaces de confrontar la teoría de cuerdas con pruebas experimentales. Además, los resultados obtenidos por Candelas estaban muy lejos del único resultado numérico que Ellingsrud y Stremme afirmaban haber obtenido en sus cálculos. Candelas y sus colaboradores declararon haber hallado también la respuesta a muchas otras cuestiones que eran de una dificultad muchísimo mayor —de hecho, tan difíciles que ningún matemático había ni siquiera intentado resolverlas—. Pero ¿se podía confiar en los resultados de la teoría de cuerdas? La reunión terminó con gran cantidad de intercambios fructíferos entre matemáticos y físicos, pero sin que se resolviera la discrepancia.

Aproximadamente un mes más tarde, circulaba un mensaje por correo electrónico entre los participantes en la reunión de Berkeley con una noticia titulada
¡La física triunfa!
Ellingsrud y Stremme habían hallado un error en el código de su ordenador que, tras ser corregido, confirmaba el resultado de Candelas. Desde entonces, se han realizado muchas comprobaciones matemáticas de la fiabilidad cuantitativa que ofrece la simetría especular dentro de la teoría de cuerdas: ha pasado con éxito todas las pruebas. También más recientemente, casi una década después de que los físicos descubrieran la simetría especular, los matemáticos han realizado un gran avance revelando sus fundamentos matemáticos inherentes. Utilizando importantes aportaciones de los matemáticos Maxim Kontsevich, Yuri Manin, Gang Tian, Jun Li y Alexander Givental, Yau y sus colaboradores Bong Lian y Kefeng Liu han hallado finalmente una prueba matemática rigurosa de las fórmulas utilizadas para el recuento de esferas dentro de los espacios de Calabi-Yau, resolviendo así varios problemas que habían traído de cabeza a los matemáticos durante cientos de años.

Más allá de las particularidades de este éxito, lo que estos avances destacan es el papel que los físicos han comenzado a desempeñar en las matemáticas modernas. Durante bastante tiempo, los físicos han «excavado» en los archivos matemáticos a la búsqueda de instrumentos para construir y analizar modelos del mundo físico. Ahora, gracias al descubrimiento de la teoría de cuerdas, la física está empezando a saldar la deuda, suministrando a los matemáticos nuevos planteamientos poderosos para sus problemas no resueltos. La teoría de cuerdas, no sólo aporta un marco unificador para la física, sino que puede seguramente llegar a establecer una unión igualmente profunda también con las matemáticas.

S
i estira usted incesantemente una membrana de goma, antes o después se romperá. Este simple hecho ha inducido a numerosos físicos durante años a preguntarse si sucedería lo mismo con la estructura espacial que forma el universo. Es decir, ¿puede la estructura del espacio rasgarse, o es esto sencillamente un concepto equivocado que surge de tomar demasiado en serio la analogía de la membrana de goma?

La relatividad general de Einstein dice que no, que la estructura del universo no se puede rasgar.
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Las fórmulas de la relatividad general están firmemente asentadas en la geometría riemanniana y, como dijimos en el capítulo anterior, esta geometría es un marco que analiza distorsiones en las relaciones de distancia entre ubicaciones próximas en el espacio. Con el fin de hablar con sentido sobre estas relaciones de distancia, el formalismo matemático en que se basan requiere que el sustrato del espacio sea
liso
, un término que tiene un significado técnico matemático, pero cuyo uso cotidiano capta su esencia: nada de arrugas, ni perforaciones, ni piezas separadas «amontonadas» juntas, y nada de rajaduras. Si la estructura del espacio desarrollara tales irregularidades, las fórmulas de la relatividad general se derrumbarían, indicando algún tipo de catástrofe cósmica, un suceso desastroso que nuestro universo, con su aparente buen comportamiento, evita.