El secreto del universo (14 page)

Por suerte, existen otros métodos para determinar el valor de
e
. Observen la siguiente serie: 2 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120 + 1/720…

Los seis términos que he dado de esta serie de números tienen las siguientes sumas sucesivas:

En otras palabras, mediante la sencilla suma de seis números, para lo cual no me hacen ninguna falta las tablas de logaritmos, calculé el valor correcto de
e
con tres cifras decimales.

Si añadiera un séptimo término a la serie, y luego un octavo, y así sucesivamente, podría obtener el valor correcto de e con un número sorprendente de cifras decimales. De hecho, el ordenador que calculó el valor de
e
con miles de cifras decimales se sirvió de esta serie, a la que añadió miles de fracciones.

Pero, ¿cómo se sabe cuál es la siguiente fracción de la serie? En una serie matemática útil tiene que haber alguna manera de predecir cuáles serán los siguientes términos a partir de los primeros. Si comienzo una serie así, 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5…, ustedes proseguirán sin problemas:… 1/6 + 1/7 + 1/8… Del mismo modo, si una serie comienza 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16…, ustedes continuarán sin dudarlo un instante:… 1/32 + 1/64 + 1/128…

Hasta se podría hacer un interesante juego de salón para personas con facilidad para los números consistente en empezar una serie y preguntar cuál sería el siguiente término. He aquí algunos ejemplos sencillos:

2, 3, 5, 7, 11…

2, 8, 18, 32, 50…

La primera serie es la lista de los números primos, y por tanto el siguiente término es evidentemente 13. La segunda serie está formada por números que son el doble de los cuadrados sucesivos, y por tanto el siguiente término es 72.

¿Pero qué hacer con una serie como 2 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120 + 1/720?… ¿Cuál es el siguiente término?

Si lo saben, la respuesta parece evidente, pero si
no
lo hubieran sabido, ¿habrían sido capaces de verlo? Y si
no
lo saben, ¿son ustedes capaces de averiguarlo?

Voy a pasar a un tema totalmente distinto por un momento.

¿Han leído ustedes la obra de Dorothy Sayers,
Nine Tailors (Nueve sastres)?
Yo la leí hace muchos años. Es un libro de misterio en el que hay un asesinato, pero no recuerdo nada sobre éste, ni sobre los personajes, ni la acción ni nada en absoluto. Sólo recuerdo una cosa: esto tiene que ver con «repicar las permutaciones».

Por lo visto (como fui advirtiendo poco a poco a medida que leía el libro), para repicar las variaciones se comienza con una serie de campanas, cada una de las cuales da una nota distinta y está manejada por un hombre que tira de la cuerda. Se hacen sonar las campanas en orden: do, re, mi, fa, etc. Luego se vuelven a hacer sonar siguiendo un orden distinto. De nuevo se vuelven a tocar en otro orden distinto. Vuelven a ser tocadas de nuevo…

Y así continúan hasta que las campanas han sonado siguiendo todos los órdenes (o permutaciones) posibles. Para hacerlo, es necesario atenerse a determinadas reglas, como, por ejemplo, que ninguna campana puede sonar saltándose más de un puesto con respecto al que ocupaba en la permutación anterior. Existen diferentes esquemas para cambiar el orden de los diferentes tipos de repique de campanas, y estos esquemas son muy interesantes en sí mismos. Pero aquí sólo me interesa el número total de permutaciones posibles en relación con un numero determinado de campanas.

Vamos a designar a cada campana con un signo de exclamación (!), que representa el badajo; así, una campana será 1!, dos campanas 2!, y así sucesivamente.

Ninguna campana puede dejar de sonar así que 0! = 1. Una campana (suponiendo que si las campanas existen
tienen
que sonar) sólo puede sonar de una manera:
bong
; así que 1! = 1. Dos campanas,
a
y
b
, evidentemente pueden sonar de dos maneras,
ab
y
ba
, así que 2! = 2.

Tres campanas,
a, b
y
c
, pueden sonar de seis maneras distintas:
abe, acb, bac, bca, cab
y
cba
, y ni una más, así que 3! = 6. Cuatro campanas,
a, b, c
y
d
, pueden sonar exactamente de veinticuatro maneras distintas. No voy a enumerarlas todas, pero pueden empezar con
abcd, abdc, acbd y acdb
, y comprobar cuántas permutaciones más son capaces de encontrar. Si son capaces de encontrar veinticinco maneras claramente distintas de escribir cuatro letras, habrán sacudido los mismos cimientos de las matemáticas, pero no creo que puedan hacerlo. En cualquier caso, 4! = 24.

Del mismo modo (fíense de mi palabra, aunque sólo sea por un momento), cinco campanas pueden sonar de 120 maneras diferentes y seis campanas de 720, así que 5! = 120, y 6 = 720.

Supongo que ahora ya lo han comprendido. Volvamos a observar la serie con la que obtenemos el valor de
e:
2 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120 + 1/720…, y escribámosla de esta forma:
e
= l/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! + 1/6!…

Ahora sabemos cómo calcular las siguientes fracciones. Son… + 1/7! + 1/8! + 1/9!, y así sucesivamente hasta el infinito.

Para calcular el valor de fracciones como 1/7!, 1/8! Y 1/9!, es preciso conocer el valor de 7!, 8! y 9!, y para conocer estos valores hay que calcular el número de permutaciones en un conjunto de siete campanas, ocho campanas y nueve campanas.

Claro que si piensan ponerse a enumerar todas las permutaciones posibles y a contarlas, se pueden pasar todo el día, y además acabarán acalorados y aturdidos.

Por tanto, busquemos un método menos directo.

Empezaremos con cuatro campanas, porque un número menor de campanas no presenta ningún problema. ¿Qué campana haremos sonar primero? Cualquiera de las cuatro, por supuesto, así que para empezar tenemos cuatro opciones. Para cada una de estas cuatro opciones podemos continuar eligiendo entre tres campanas (es decir, cualquiera excepto la que ya ha sido elegida en primer lugar), así que para los dos primeros lugares tenemos 4x3 posibilidades. Para cada una de estas posibilidades podemos hacer sonar cualquiera de las dos campanas que quedan en tercer lugar, así que para los tres primeros lugares tenemos 4 × 3 × 2 posibilidades. Para cada una de estas posibilidades sólo queda una campana que suene en cuarto lugar, así que para los cuatro lugares tenemos 4 × 3 × 2 × l disposiciones posibles.

Podemos decir, por tanto, que 4! = 4 × 3 × 2 × l = 24.

Si calculamos las variaciones para cualquier número de campanas, llegaremos a la misma conclusión. Por ejemplo, para siete campanas el número total de variaciones es 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5.040. Podemos decir, por tanto, que 7! = 5.040.

(Normalmente se utilizan siete campanas para tocar las variaciones, lo que se llama un «repique». Si todas las campanas suenan una vez cada seis segundos, todas las permutaciones posibles -5.040 en total— tardarían ocho horas, veinticuatro minutos y pico en sonar… E idealmente, no tiene que haber ningún error. Repicar las permutaciones es un asunto muy serio.)

El símbolo “!” no quiere decir «campana» en realidad (no era más que una ingeniosa treta que he utilizado para abordar el asunto). En este caso representa la palabra «factorial». así, 4! es «factorial de cuatro», y 7! es «factorial de siete».

Estos números no sólo representan las permutaciones con que se puede repicar un conjunto de campanas, sino también el número de ordenaciones posibles en que se pueden encontrar las cartas de una baraja, el número de formas diferentes en que un número de personas puede sentarse a una mesa, y así sucesivamente.

No he encontrado nunca una explicación del término «factorial», pero creo que puedo hacer una razonable tentativa para explicarlo. Como el número 5.040 es igual a 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × l, es divisible por cada uno de los números del 1 al 7. Es decir, cada número del 1 al 7 es un factor de 5.040; ¿por qué no llamar entonces a 5.040 «factorial de siete»?

Y es posible generalizar. Todos los números enteros del 1 al
n
son factores de
n!
. ¿Por qué no llamar entonces a
n!
«factorial de n»?

Ahora podemos comprender por qué la serie utilizada para determinar el valor de
e
resulta tan útil.

Los valores de los factoriales aumentan a un ritmo vertiginoso, como se ve en la lista de la
Tabla 2
, en la que los valores sólo llegan a 15!.

Como los valores de los factoriales aumentan vertiginosamente, los valores de las fracciones con factoriales sucesivos en el denominador tienen que disminuir vertiginosamente. Cuando llegamos a 1/6!, el valor es sólo de 1/720, y cuando llegamos a 1/15!, el valor es bastante menor que una billonésima.

Cada una de estas fracciones con factoriales en el denominador es mayor que todo el resto de la serie después de ella. Así, 1/15! es mayor que 1/16! + 1/17! + 1/18!… y así hasta el infinito, todos juntos. Y esta preponderancia de una fracción dada sobre todas las fracciones subsiguientes juntas aumenta a medida que avanzamos en la serie.

Supongamos, por tanto, que sumamos todos los términos de la serie hasta 1/14!. El valor de esta suma tendrá un error de 1/15! + 1/16! + 1/17! + 1/18!, etc. Pero podemos decir que el valor hallado tiene un error de 1/15!, porque la suma del resto de la serie es insignificante comparado con el valor de 1/15!, que es de menos de una billonésima, es decir, de menos de 0,000000000001, y al sumar algo más de una docena de fracciones se obtiene un valor de
e
correcto con once cifras decimales.

Supongamos que sumáramos todos los términos de la serie hasta 1/999! (con un ordenador, por supuesto). Si lo hacemos, hallamos el verdadero valor con un error de 1/1.000!. Para averiguar cuánto es eso, tenemos que tener alguna idea de cuál es el valor de 1/1.000!, que podríamos determinar calculando 1.000 × 999 × 998… y así sucesivamente. Pero no lo intenten. Estarían haciéndolo eternamente.

Afortunadamente existen fórmulas para calcular el valor de las fracciones complicadas (al menos aproximadamente), y tablas de los logaritmos de esos grandes factoriales.

Así, log l.000! = 2567,6046442, lo que quiere decir que l.000! = 4.024 × 10
^2.567
, o (aproximadamente), un 4 seguido de 2.567 ceros. Si calculamos la serie determinante de e hasta 1/999!, hallaremos su valor con un error de sólo 1/(4 × l0
^2.567
), y obtendremos un valor correcto de
e
con 2.566 cifras decimales. (Que yo sepa, el valor más exacto de
e
jamás calculado tiene no menos de 60.000 cifras decimales.)

Permítanme una nueva digresión para recordar una época en la que utilicé personalmente factoriales de una envergadura moderadamente grande. Cuando estuve en el ejército, pasé una temporada en la que me dedicaba a jugar al
bridge
todo el santo día con otros tres compañeros de fatigas, hasta que uno de ellos acabó con la historia tirando sus cartas sobre la mesa y diciendo:

—Hemos jugado tantas veces que están empezando a repetirse las mismas manos.

Yo me sentía terriblemente agradecido, porque su observación me había proporcionado algo en qué pensar.

Cada ordenación de las cartas en una baraja de
bridge
equivale a un conjunto de manos potencialmente distintas. Como hay cincuenta y dos cartas, el número total de ordenaciones posibles es de 52!. Pero, dentro de cada mano individual, el orden no tiene importancia. Un determinado conjunto de trece cartas en posesión de un determinado jugador sigue siendo la misma mano, se ordene como se ordene. El número total de ordenaciones posibles de las trece cartas de una mano es de 13!, lo que es válido para cada una de las cuatro manos. Por tanto, el número total de combinaciones de manos de
bridge
es igual al número total de ordenaciones dividido por el número de estas ordenaciones que no se tienen en cuenta, o 52!/(13!)
⁴
.

Como no tenía ninguna tabla a mano, lo calculé por el método más largo, pero no me importaba. Me ayudaba a matar el tiempo y, para mi gusto, era mucho mejor que una partida de
bridge
. Hace mucho que perdí las cifras que calculé entonces, pero ahora puedo repetir la tarea con la ayuda de las tablas.

El valor aproximado de 52! es 8,066 × 10
⁶⁷
. El valor de 13! (como pueden comprobar en la tabla de factoriales que he dado más arriba) es de aproximadamente 6,227 × 10
⁹
, y la cuarta potencia de ese valor es aproximadamente 1,5 × 10
³⁹
. Si dividimos 8,066 × 10
⁶⁷
entre 1,5 × 10
³⁹
, el resultado es que el número total de juegos de
bridge
distintos posibles es aproximadamente 5,4 × 10
²⁸
, o 54.000.000.000.000.000.000.000.000.000, ó 54 mil cuatrillones.

Se lo comuniqué a mis amigos. Les dije:

—No tenemos muchas probabilidades de estar repitiendo juegos. Podríamos jugar un billón de juegos por segundo durante mil millones de años sin repetir ni un solo juego.

Mi recompensa fue la más completa incredulidad. El que se había quejado en primer lugar dijo amablemente: