El universo elegante (13 page)

Esta explicación muestra que lo que hace la relatividad general es terminar un trabajo que inició la relatividad especial. A través de su principio de relatividad, la teoría de la relatividad especial establece una democracia en las posiciones de los observadores: las leyes de la física resultan idénticas para todos los observadores que se encuentren en movimiento a velocidad constante. Sin embargo, se trata de una democracia limitada, ya que excluye una cantidad enorme de otros puntos de vista —los de los individuos que están sometidos a una aceleración—. Pero la teoría de Einstein de 1907 nos muestra cómo abarcar
todos
los puntos de vista —la velocidad constante y la aceleración— dentro de un marco igualitario. Dado que no existe diferencia alguna entre un puesto de observación acelerado
sin
un campo gravitatorio y un puesto de observación no acelerado
con
un campo gravitatorio, podemos asumir este último punto de vista y afirmar que
todos los observadores, independientemente de su estado de movimiento, pueden proclamar que se encuentran inmóviles y que «es el resto del mundo el que se mueve junto a ellos», siempre y cuando incluyan un campo gravitatorio adecuado en la configuración de su propio entorno
. En este sentido, mediante la inclusión de la gravedad, la relatividad general garantiza que todos los puntos de observación posibles se encuentran en pie de igualdad. (Como veremos más adelante, esto significa que las distinciones entre los observadores del capítulo 2, que se basaban en el movimiento acelerado, —como cuando George iba a alcanzar a Gracie poniendo en marcha su propulsor y envejecía menos que ella— admiten una descripción equivalente sin aceleración, pero con gravedad).

Esta profunda conexión entre la gravedad y el movimiento acelerado es ciertamente un logro notable, pero ¿por qué hizo tan feliz a Einstein? La razón es, sencillamente, que la gravedad constituye un misterio. Se trata de una fuerza importante que impregna toda la vida del cosmos, pero es escurridiza y etérea. Por otra parte, el movimiento acelerado, aunque sea algo más complicado que el movimiento a velocidad constante, es concreto y tangible. Al hallar un vínculo fundamental entre ambas cosas, Einstein constató que podía utilizar su modo de comprender el movimiento como un instrumento poderoso para lograr una comprensión similar de la gravedad. Poner en práctica esta estrategia no era una tarea fácil, ni siquiera para el genio de Einstein, pero finalmente el planteamiento dio como fruto la relatividad general. Para lograr este objetivo fue necesario que Einstein estableciera un segundo vínculo en la cadena que unía la gravedad y el movimiento acelerado: la curvatura del espacio y el tiempo, que es la cuestión que abordaremos a continuación.

Einstein trabajó sobre el problema de comprender la naturaleza de la gravedad, dedicándose a ello con una intensidad extrema, casi obsesiva. Unos cinco años después del feliz descubrimiento realizado en la oficina de patentes de Berna, escribió al físico Arnold Sommerfeld: «Ahora estoy trabajando exclusivamente en el problema de la gravedad… Una cosa es cierta: que jamás en mi vida ha habido algo que me haya atormentado tanto como esto… Comparado con este problema, la teoría de la relatividad original (es decir, especial) es un juego de niños».
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Según parece, el siguiente descubrimiento clave lo hizo en 1912: una sencilla, pero sutil, consecuencia de aplicar la relatividad especial al vínculo establecido entre la gravedad y el movimiento acelerado. Para comprender este paso del razonamiento de Einstein lo más fácil es centrarse, como parece ser que hizo el propio Einstein, en un ejemplo concreto de movimiento acelerado.
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Recordemos que un objeto sufre una aceleración si cambia la velocidad o la dirección de su movimiento. Con el fin de hacerlo más sencillo, nos centraremos en el tipo de movimiento acelerado en el que sólo cambia la dirección del movimiento del objeto, mientras su velocidad permanece fija. Concretamente, pensemos en un movimiento en círculo como el que se realiza en el Tornado de un parque de diversiones. Por si acaso el lector no ha comprobado nunca la estabilidad de su cuerpo en este tipo de atracción, diremos que se está en pie con la espalda apoyada contra el interior de una estructura circular de plexiglás que gira sobre sí misma a gran velocidad. Como todo movimiento acelerado, es un movimiento que podemos percibir —se siente que algo tira del cuerpo radialmente alejándolo del centro de la estructura y se siente cómo la pared circular de plexiglás presiona sobre la espalda, con lo que nos movemos siempre en círculo—. (De hecho, aunque no es importante en esta discusión, el movimiento de giro de la estructura hace que el cuerpo se «clave» con tal fuerza al plexiglás, que, cuando la repisa sobre la que estamos en pie cae, nuestro cuerpo no se desliza hacia abajo). Si el movimiento de la estructura es extremadamente uniforme y cerramos los ojos, la presión sobre nuestra espalda —como el apoyo de una cama— casi puede hacemos sentir que estamos acostados. Este «casi» procede del hecho de que seguimos sintiendo la gravedad «vertical» ordinaria, por lo que nuestro cerebro no se engaña del todo. Sin embargo, si nos montáramos en un Tornado situado en el espacio exterior y giráramos justo a la velocidad adecuada, nuestro cerebro sí que sentiría exactamente igual que si estuviéramos acostados en una cama inmóvil sobre la superficie terrestre. Además, si nos «levantáramos» y nos pusiéramos a caminar por el interior de la estructura circular de plexiglás que está girando, nuestros pies presionarían contra ella igual que lo hacen contra un suelo sobre la superficie terrestre. De hecho, las estaciones espaciales están diseñadas para girar de esta manera con el fin de crear una sensación artificial de gravedad en el espacio exterior.

Después de haber imitado la gravedad utilizando el movimiento acelerado del Tornado que giraba, podemos ahora seguir los razonamientos de Einstein y ponernos en marcha para ver cómo percibe el espacio y el tiempo alguien que está montado en ese aparato. El razonamiento de Einstein, adaptado a esta situación, sería como vamos a ver a continuación. Nosotros, los observadores inmóviles, podemos medir fácilmente la circunferencia y el radio del aparato que gira. Por ejemplo, para medir la circunferencia podemos colocar una regla —poniendo cada vez un extremo de ella en el punto al que habíamos llegado antes— a lo largo del contorno del aparato; para hallar su radio podemos utilizar el mismo método de la regla, desplazándonos desde el eje central del aparato hasta su borde exterior. Según la geometría que aprendimos en la escuela, resulta que su cociente es dos veces el número pi —aproximadamente 6,28— tal como sucede para cualquier circunferencia que dibujemos en una hoja de papel plana. Pero ¿cómo se ven las cosas desde la perspectiva de alguien que esté montado en el aparato?

Para averiguarlo, les pedimos a Slim y Jim, que en este momento están disfrutando de una vuelta en el Tornado, que nos hagan el favor de tomar algunas medidas. Le lanzamos una de nuestras reglas a Slim, que se pone en acción para medir la circunferencia del aparato, como se ve en la Figura 3.1. Hemos decorado esta especie de foto instantánea con una flecha que indica la dirección del movimiento en cada punto en el momento de hacer la foto. Cuando Slim empieza a medir la circunferencia, vemos inmediatamente desde nuestra perspectiva a vista de pájaro que va a obtener una respuesta diferente de la que obtuvimos nosotros. Cuando coloca la regla a lo largo de la circunferencia, observamos que
la longitud de la regla se ha acortado
.

Figura 3.1
La regla de Slim se contrae, porque está colocada en la dirección del movimiento del aparato. Sin embargo, la regla de Jim está colocada a lo largo de una viga radial, perpendicular a la dirección del movimiento del aparato, y en consecuencia su longitud no se contrae.

Esto no es otra cosa que la contracción de Lorentz que ya mencionamos en el capítulo 2, según la cual la longitud de un objeto se reduce en la dirección de su movimiento. Que la regla sea más corta significa que tendrá que colocarla más veces para recorrer toda la circunferencia. Dado que él sigue pensando que la longitud de la regla es treinta centímetros (como no hay movimiento relativo entre Slim y su regla, él la percibe con su longitud habitual de treinta centímetros), Slim medirá una circunferencia
más larga
que la que nosotros habíamos medido. (Si por casualidad usted se está preguntando: «¿Por qué no se contrae la circunferencia del mismo modo que la regla, con lo que Slim mediría la misma longitud que habíamos medido nosotros?», puede que le convenga leer la nota final).

¿Qué sucede con el radio? Pues que Jim utiliza el mismo sistema de la regla para hallar la longitud de una viga radial y, desde nuestra perspectiva a vista de pájaro, vemos que va a obtener la misma respuesta que nosotros. La razón es que la regla no apunta hacia la dirección instantánea del movimiento del aparato (a diferencia de lo que sucedía al medir la circunferencia). En este caso forma un ángulo de noventa grados con la dirección del movimiento, por lo que su longitud
no
se contrae. En consecuencia, Jim hallará exactamente la misma longitud radial que obtuvimos nosotros.

Sin embargo, cuando Slim y Jim calculen el cociente entre la longitud de la circunferencia del aparato y su radio, obtendrán un número mayor que dos veces pi (que era lo que habíamos obtenido nosotros), ya que la circunferencia es más larga, mientras el radio mide lo mismo. Realmente es un misterio. ¿Cómo puede ser que algo que tiene forma de círculo contradiga el resultado obtenido por los antiguos griegos, según el cual en cualquier círculo este cociente es
exactamente
dos veces el número pi?

He aquí la explicación de Einstein. El resultado obtenido por los antiguos griegos es cierto para los círculos que se trazan en una superficie plana. Pero, del mismo modo que los espejos alabeados o curvos de una atracción de feria distorsionan las relaciones espaciales normales cuando nos reflejan, si un círculo se dibuja en una superficie alabeada o curva, sus relaciones espaciales habituales también quedarán distorsionadas: el cociente de su circunferencia dividida entre su radio
no
será, en general, dos veces el número pi.

Por ejemplo, la Figura 3.2 compara tres círculos cuyos radios son idénticos. Sin embargo, obsérvese que sus circunferencias
no
son iguales. La circunferencia del círculo representado en (b), dibujado en la superficie curva de una esfera, es menor que la circunferencia del círculo dibujado en la superficie plana representada en (a), aunque tienen el mismo radio. La naturaleza curva de la superficie de la esfera hace que las líneas radiales del círculo converjan ligeramente entre sí, de lo cual resulta una pequeña disminución en la longitud de la circunferencia. La circunferencia del círculo representado en (c), que también está dibujado sobre una superficie curva —con forma de silla de montar— es
mayor
que la que se dibuja en una superficie plana; la naturaleza curva de la superficie de la silla de montar hace que los espacios entre las líneas radiales del círculo se ensanchen hacia fuera ligeramente, con lo que se produce un pequeño aumento en la longitud de la circunferencia. Estas observaciones ponen de manifiesto, por lo tanto, que el cociente entre la longitud de la circunferencia y el radio de la misma en (b) será menor que dos veces el número pi, mientras que el mismo cociente en (c) será mayor que dos veces el número pi. Pero esta desviación con respecto a dos veces pi, especialmente el valor mayor hallado en el caso (c), es justo lo que habíamos obtenido para el Tornado que giraba. Esto indujo a Einstein a proponer un concepto —la curvatura del espacio— como explicación de esa contradicción con la geometría euclídea, es decir, la geometría «ordinaria». La geometría plana de los griegos, que se ha enseñado a los niños en la escuela durante miles de años, sencillamente no es aplicable a algo que se encuentra en un aparato que gira como el Tornado. En cambio, sí que procede aplicar su generalización al espacio curvo, como se representa esquemáticamente en el caso (c) de la Figura 3.4

Figura 3.2
Un círculo dibujado sobre una esfera (b) tiene una circunferencia menor que uno que esté dibujado sobre una hoja plana de papel (a), mientras que un círculo dibujado sobre la superficie de una silla de montar (c) tiene una circunferencia mayor, aunque todos estos círculos tengan el mismo radio.
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