¿Es Dios un Matemático? (33 page)

En el capítulo 1 señalé que el éxito de la matemática en las teorías físicas tiene dos aspectos: a uno lo llamé «activo» y al otro «pasivo». El aspecto «activo refleja el hecho de que los científicos formulan las leyes de la naturaleza en términos matemáticos aplicables más allá de toda duda; es decir, utilizan entidades, relaciones y ecuaciones matemáticas que se desarrollaron pensando en su aplicación, con frecuencia para el tema en cuestión. En esos casos, los investigadores tienden a basarse en la percepción de similitud entre las propiedades de los conceptos matemáticos y los fenómenos observados o los resultados experimentales. En tales situaciones, puede que la eficacia de la matemática no sea tan sorprendente, ya que se puede sostener que las teorías se ajustaron a medida de las observaciones. Sin embargo, existe también una parte sorprendente del uso «activo», la relacionada con la
precisión,
que comentaré más adelante en este capítulo. La eficacia «pasiva» se refiere a los casos de desarrollo de teorías matemáticas totalmente abstractas, sin intención alguna de hallarles aplicación, que más adelante se transforman en modelos predictivos de gran potencia. La
teoría de nudos
representa un ejemplo espectacular de la interacción entre la eficacia pasiva y la activa.

Los nudos están hechos del material del que están hechas las leyendas. Quizá recuerden la leyenda griega del nudo gordiano. Un oráculo comunicó a los ciudadanos de Frigia que su próximo rey sería el primer hombre que entrase en la capital montando un carro de bueyes. Gordio, un pobre campesino incauto que entró en la ciudad conduciendo un carro de bueyes, se convirtió de este modo en rey. Abrumado por la gratitud, Gordio dedicó su carro a los dioses y lo ató con un complicado nudo que resistió todos los intentos de deshacerlo. Una posterior profecía pronosticaba que la persona que deshiciese el nudo se convertiría en rey de Asia. El destino quiso que el hombre que finalmente deshiciera el nudo (en el año 333 a.C.) fuese Alejandro Magno que, en efecto, más adelante se convertiría en soberano de Asia. No obstante, la solución de Alejandro para el nudo gordiano no fue lo que llamaríamos sutil, ni siquiera limpia; al parecer, Alejandro ¡cortó el nudo en dos con su espada!

Pero no hace falta que retrocedamos hasta la antigua Grecia para tropezamos con nudos. Un niño que se ata los zapatos, una chica haciendo trenzas en su cabello, la abuela tejiendo un jersey p un marinero amarrando un barco, todos ellos utilizan algún tipo de nudo. Hay nudos con nombres pintorescos,
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como «gaza de pescador», «corbata inglesa», «zarpa de gato», «nudo de amor dormido», «abuelita» o «nudo del ahorcado». En concreto, los nudos marineros se han considerado lo bastante importantes desde un punto de vista histórico como para inspirar toda una colección de libros en la Inglaterra del siglo XVII. Resulta que uno de estos libros lo escribió nada menos que el aventurero inglés John Smith (1580-1631), que se hizo célebre por su relación romántica con la princesa nativa americana Pocahontas.

La teoría matemática de nudos nació en 1771, en un documento escrito por el matemático francés Alexandre-Théophile Vandermonde (1735-1796).
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Vendermonde fue el primero en reconocer que los nudos se podían estudiar como parte de la materia denominada «geometría de posición», que trata de relaciones que dependen únicamente de la posición, y hace caso omiso de los tamaños y de los cálculos cuantitativos. En términos de su papel en el desarrollo de la teoría de nudos, el siguiente puesto le corresponde al «príncipe de las matemáticas» alemán, Cari Friedrich Gauss. Las notas de Gauss contienen bocetos y descripciones detalladas de nudos, así como exámenes analíticos de sus propiedades. Sin embargo, a pesar de la importancia de la obra de Vandermonde, Gauss y otros matemáticos del siglo XIX, el principal impulso de la moderna teoría de nudos tuvo un origen inesperado: ¡un intento de explicar la estructura de la materia! La idea se forjó en la mente del famoso físico inglés William Thomson (más conocido actualmente por lord Kelvin; 1824-1907). Los trabajos de Thomson se centraban en la formulación de una teoría de los átomos, los bloques de construcción básicos de la materia.
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Según su original conjetura, los átomos eran en realidad tubos anudados de éter (esa misteriosa sustancia que, según se suponía, impregnaba todo el espacio). En este modelo, la variedad de elementos químicos se explicaba por la gran diversidad de nudos.

Si la especulación de Thomson nos parece actualmente casi una chifladura es porque henos tenido un siglo de tiempo para acostumbrarnos al modelo correcto del átomo (en el que los electrones orbitan alrededor del núcleo) y comprobarlo experimentalmente. Pero estamos hablando de Inglaterra en la década de 1860, y a Thomson le había impresionado profundamente la estabilidad de los anillos de humo complejos y su capacidad de vibrar, dos propiedades que en aquella época se consideraban esenciales en cualquier modelo del átomo. Para desarrollar el equivalente de una «tabla periódica» de los elementos, Thomson debía
clasificar
los nudos (es decir, averiguar cuáles eran los distintos tipos de nudo posibles), y esta necesidad de tabulación de nudos suscitó un gran interés por la matemática de los nudos.

Como ya expliqué en el capítulo 1, un nudo matemático tiene un aspecto similar al de un nudo en una cuerda, pero los extremos de la cuerda están empalmados. En otras palabras, un nudo matemático se representa mediante una curva cerrada sin cabos sueltos.

En la figura 54 se pueden ver algunos ejemplos; los nudos tridimensionales se representan mediante sus proyecciones (sombras) en el plano. La posición en el espacio de dos ramales que se cruzan se indica en la figura mediante la interrupción de la línea que representa el ramal inferior. El nudo más simple (llamado precisamente
nudo simple)
es únicamente una curva circular cerrada (como se muestra en la figura 54a). El nudo de
trébol
(figura 54b) tiene tres cruces de ramales, mientras que el nudo
en 8
(figura 54c) tiene cuatro cruces. En la teoría de Thomson, estos tres nudos podían, en principio, corresponder a modelos de tres átomos de complejidad creciente, como los de hidrógeno, carbono y oxígeno, respectivamente. Pero seguía siendo necesaria una clasificación completa de nudos, y la persona que emprendió esta tarea fue un amigo de Thomson, el físico matemático escocés Peter Guthrie Tait (1831-1901). Las preguntas que los matemáticos se hacen acerca de los nudos no difieren mucho de las que uno mismo podría plantearse acerca de una cuerda anudada o un ovillo enredado. ¿Está realmente anudado? Un nudo determinado ¿es equivalente a otro? O, lo que es lo mismo: ¿se puede deformar un nudo hasta adquirir la forma de otro
sin
romper las hebras ni hacer pasar un ramal a través de otro como en los anillos mágicos de un ilusionista? La importancia de esta pregunta se puede ver en la figura 55, en donde se muestra que, mediante determinadas manipulaciones, es posible obtener dos representaciones muy distintas de lo que, en realidad, es el mismo nudo. En última instancia, la teoría de nudos busca una forma de
demostrar
que ciertos nudos (como el nudo de trébol o el del número 8, figuras 54b y 54c) son realmente distintos, ignorando las diferencias «superficiales» de otros nudos, como los de la figura 55. Tait inició su trabajo de clasificación por el camino difícil.
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Sin ningún principio matemático riguroso para guiarle, recopiló listas de curvas con un cruce, dos cruces, tres cruces, etc. En colaboración con el reverendo Thomas Pennington Kirkman (1806-1895), que también era aficionado a las matemáticas, empezó a pasar una criba por las curvas para eliminar duplicados de nudos equivalentes. No se trataba de una tarea trivial. Hay que tener en cuenta que en cada cruce hay dos formas de elegir qué ramal pasa por encima. Eso significa que, si una cura contiene, por ejemplo, siete cruces, se deben tener en cuenta 2x2x2x2x2x2x2 = 128 nudos. En otras palabras, la vida humana es demasiado breve como para completar la clasificación de nudos con decenas de cruces de esta forma intuitiva. Sin embargo, alguien supo apreciar el trabajo de Tait. El gran James Clerk Maxwell, que formuló la teoría clásica de la electricidad y el magnetismo, trató con respeto la teoría atómica de Thomson, sobre la que expresó: «Satisface un número mayor de condiciones que cualquier teoría atómica considerada hasta ahora.» Consciente de la contribución de Tait, Maxwell compuso el siguiente poema:

Clear your coil of kinkings

Into perfect plaiting,

Locking loops and lmkings

Interpenetrating
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(* «Tu bobina sin enredos, / una trenza perfecta / todos los bucles y enlaces / interpenetrándose.»)

En 1877, Tait ya había clasificado nudos alternos hasta siete cruces. Los nudos alternos son aquellos en los que los cruces se alternan por encima y por debajo, como la trama de una alfombra. Tait hizo también algunos descubrimientos más prácticos, principios básicos que luego se bautizaron como «conjeturas de Tait». Estas conjeturas resultaron ser tan enjundiosas que resistieron todo intento de demostración rigurosa hasta finales de la década de 1980. En 1885, Tait publicó tablas de nudos hasta diez cruces y decidió dejarlo en ese punto. De forma independiente, el profesor de la Universidad de Nebraska Charles Newton Little (1858-1923) publicó también en 1899 tablas de nudos no alternos con diez cruces o menos.
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Lord Kelvin siempre tuvo aprecio por Tait. En una ceremonia celebrada en el Peterhouse College en Cambridge en la que se presentaba un retrato de Tait, lord Kelvin señaló: «Recuerdo haber oído decir a Tait en cierta ocasión que la ciencia es lo único por lo que vale la pena vivir. Aunque lo dijo con sinceridad, el propio Tait demostró que no era así. Tait era un gran lector. Podía recitar de corrido a Shakespeare, Dickens y Thackeray. Su memoria era prodigiosa. Le bastaba con leer algo con comprensión para recordarlo siempre».

Por desgracia, cuando Tait y Litde completaron su heroica tarea de tabulación de nudos, la teoría de Kelvin había quedado totalmente descartada como posible teoría atómica. De todos modos, el interés por los nudos siguió vivo, aunque con una diferencia, que el matemático Michael Atiyah ha expresado de este modo: «El estudio de los nudos se convirtió en una rama esotérica de la matemática pura».

El área general de la matemática en la que no se tienen en cuenta propiedades como el tamaño, la homogeneidad y, en cierto sentido, ni siquiera la forma, se denomina
topología.
La topología (la geometría de la lámina de goma) examina las propiedades que no varían cuando el espacio se estira o se deforma (sin romperlo ni agujerearlo).
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Por su naturaleza, los nudos forman parte de la topología. Por cierto, los matemáticos distinguen entre
nudos,
que son bucles anudados individuales;
enlaces,
que son conjuntos de bucles anudados individuales enredados entre sí; y
trenzas,
que son conjuntos de cuerdas verticales unidas a barras horizontales en los extremos superior e inferior.

Si la dificultad de clasificar nudos no le ha impresionado, piense en el siguiente dato revelador. La tabla de Charles Little, publicada en 1899 tras un trabajo de seis años, contenía 43 nudos no alternos de diez cruces. Esta tabla fue examinada por muchos matemáticos y tenida por correcta durante setenta y cinco años. En 1974, el abogado y matemático neoyorquino Kenneth Perko estaba experimentando con cuerdas en el suelo de su salón.
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Para su sorpresa, Perko descubrió que dos de los nudos de la tabla de Little eran, en realidad, el mismo nudo. Ahora sabemos que sólo hay 42 nudos no alternos distintos de diez cruces.

Aunque el siglo XX fue testigo de grandes avances en topología, los progresos en teoría de nudos eran relativamente lentos. Entre los principales objetivos del estudio de los nudos en matemáticas se encuentra la identificación de las propiedades que distinguen unos nudos de otros. Estas propiedades se denominan
invariantes de nudos,
ya que representan cantidades que resultan en el mismo valor para dos proyecciones distintas cualesquiera del mismo nudo. En otras palabras, un invariante ideal es, literalmente, una «huella dactilar» del nudo, es decir, una propiedad característica de éste que no cambia al deformarlo. Quizá el invariante más simple que se puede concebir es el número mínimo de cruces en un esquema del nudo. Por ejemplo, por mucho que se intente desenredar el nudo de trébol (figura 54b), nunca se podrá reducir el número de cruces por debajo de tres. Por desgracia, existen diversas razones que explican por qué el número mínimo de cruces no es el invariante más útil.