¿Es Dios un Matemático? (35 page)

Pero la biología molecular no es el único terreno en el que la teoría de nudos ha hallado inesperadas aplicaciones. La teoría de cuerdas (el intento actual de formular una teoría unificada que explique todas las fuerzas de la naturaleza) también tiene que ver con los nudos.

La gravedad es la fuerza que opera a mayor escala. Mantiene unidas las estrellas de las galaxias e influye en la expansión del universo. La relatividad general de Einstein es una notable teoría sobre la gravedad. Pero, en lo más profundo del núcleo atómico, otras fuerzas y una teoría distinta son las que gobiernan. La interacción nuclear fuerte mantiene unidas unas partículas llamadas quarks para formar los conocidos protones y neutrones, constituyentes básicos de la materia. El comportamiento de las partículas y de las fuerzas en el mundo subatómico viene dictado por las leyes de la mecánica cuántica. ¿Actúan según las mismas reglas los quarks y las galaxias? Los físicos creen que debería ser así, aunque aún no saben por qué. Durante décadas, los físicos han estado buscando una «teoría de todo», una descripción exhaustiva de las leyes de la naturaleza. En particular, su meta es llenar el vacío entre lo más grande y lo más pequeño con una teoría cuántica de la gravedad, una reconciliación de la relatividad general con la mecánica cuántica. La teoría de cuerdas parece ser actualmente la posibilidad mejor situada para una «Teoría de todo».
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Desarrollada en su origen como teoría para la fuerza nuclear fuerte y posteriormente desechada, la teoría de cuerdas resucitó de la oscuridad en 1974 de la mano de los físicos John Schwarz y Joel Scherk. La idea básica de la teoría de cuerdas es bastante simple. La teoría propone que las partículas subatómicas elementales, como los electrones y los quarks, no son entidades puntuales sin estructura, sino que representan distintos modos de vibración de una misma cuerda básica. Según esta idea, el cosmos está lleno de minúsculos aros flexibles, similares a gomas elásticas. De igual modo que se puede pulsar una cuerda de violín para producir distintas armonías, las distintas vibraciones de estas cuerdas cerradas corresponden a distintas partículas de materia. En otras palabras, el mundo es algo así como una sinfonía.

Como las cuerdas son bucles en forma de «o» que se mueven por el espacio, con el paso del tiempo barren áreas en forma de cilindro (véase figura 60) denominadas
worldsheets.

Si una cuerda emite otras cuerdas, el cilindro se bifurca creando estructuras en forma de tirachinas. Cuando muchas cuerdas interaccionan, forman una intrincada maraña de cáscaras combinadas con aspecto de donut. Al estudiar este tipo de estructuras topológicas complejas, Hiroshi Ooguri y Cumrun Vafa, que trabajaban en teoría de cuerdas, descubrieron una sorprendente conexión entre el número de «cáscaras donut», las propiedades geométricas intrínsecas de los nudos y el polinomio de Jones.
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Con anterioridad, Ed Witten (uno de los nombres fundamentales en teoría de cuerdas) había creado una inesperada relación entre el polinomio de Jones y la misma base de la teoría de cuerdas (denominada
teoría cuántica de campos).
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El modelo de Witten fue rediseñado más adelante desde una perspectiva puramente matemática por el matemático Michael Atiyah.
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De modo que la teoría de cuerdas y la teoría de nudos viven en simbiosis perfecta. Por una parte, la teoría de cuerdas ha sacado provecho de los resultados de la teoría de nudos y, por otra, la teoría de cuerdas ha impulsado nuevos avances en teoría de nudos.

Con un ámbito mucho más amplio, la teoría de cuerdas busca explicaciones para los constituyentes más básicos de la materia, de forma similar a lo que Thomson pretendía originalmente con una teoría de los átomos. Thomson pensaba (erróneamente) que los nudos le proporcionarían la respuesta. Por un giro inesperado, los expertos en teoría de cuerdas han hallado que los nudos pueden realmente ofrecerles algunas respuestas.

Como ya he mencionado, incluso el aspecto «activo» de la eficacia de la matemática (cuando los científicos generan la matemática que necesitan para describir los hechos observables) presenta algunas desconcertantes sorpresas en lo que se refiere a la precisión. Voy a describir brevemente un aspecto de la física en el que tanto la parte activa como la pasiva han desempeñado su papel, pero que es especialmente notable por la exactitud obtenida.

Newton tomó las leyes de la caída de cuerpos descubiertas por Galileo y otros experimentalistas italianos, las combinó con las leyes del movimiento planetario que había determinado Kepler y utilizó este esquema unificado para formular una ley matemática universal de la gravitación. Durante el proceso, Newton tuvo que formular una rama completamente nueva de la matemática (el cálculo) que le permitiese captar de forma concisa y coherente todas las propiedades de sus leyes de movimiento y de gravitación. La precisión con la que el propio Newton pudo comprobar su ley de la gravedad, teniendo en cuenta los resultados experimentales y las observaciones de su época, no era superior al 4 por 100. Sin embargo, la ley demostró su exactitud más allá de cualquier expectativa razonable. En la década de 1950, la precisión experimental era superior a una diezmilésima de un 1 por 100. Pero eso no es todo. Algunas teorías especulativas recientes, cuya finalidad es explicar la aparente aceleración de la expansión de nuestro universo, han sugerido que la gravedad podría cambiar su comportamiento a escalas muy pequeñas. Recuerde que la ley de Newton afirma que la atracción gravitatoria decrece como el inverso del cuadrado de la distancia. Es decir, si se duplica la distancia entre dos masas, la fuerza gravitatoria que cada masa percibe se hace cuatro veces más débil. Los nuevos escenarios predecían desviaciones de este comportamiento a distancias de menos de un milímetro. Eric Adelberger, Daniel Kapner y su equipo de la Universidad de Washington en Seattle
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realizaron una serie de ingeniosos experimentos para comprobar esta predicción de cambio en la dependencia de la separación. Sus resultados más recientes, publicados en enero de 2007, muestran que la ley del cuadrado inverso ¡sigue siendo válida a una distancia de 56 milésimas de milímetro! Así, una ley matemática propuesta hace más de trescientos años basándose en observaciones insuficientes no sólo ha resultado ser espectacularmente precisa, sino que ha demostrado su validez en situaciones en las que ésta no se ha podido demostrar hasta época muy reciente.

Pero Newton dejó sin respuesta una pregunta fundamental: ¿cómo funciona realmente la gravedad? ¿Cómo afecta la Tierra al movimiento de la Luna, situada a una distancia de casi 400.000 kilómetros? Newton era consciente de este defecto de su teoría, y lo admitió abiertamente en los
Principia:

Hasta aquí he expuesto los fenómenos de los cielos y de nuestro mar por la fuerza de la gravedad, pero todavía no he asignado causa a la gravedad. Efectivamente esta fuerza surge de alguna causa que penetra hasta los centros del Sol y los planetas … y cuya acción se extiende por todas partes hasta distancias inmensas, decreciendo siempre como el cuadrado de las distancias … Pero no he podido todavía deducir a partir de los fenómenos la razón de estas propiedades de la gravedad y yo no imagino hipótesis.

La persona que decidió aceptar el desafío planteado por la omisión de Newton fue Albert Einstein (1879-1955). Concretamente en 1907, Einstein tenía buenas razones para interesarse por la gravedad:
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¡su nueva teoría de la relatividad especial parecía entrar en conflicto directo con la ley de gravitación de Newton!

Newton creía que la acción de la gravedad era instantánea. Suponía que la fuerza gravitatoria del Sol sobre los planetas o la atracción de la Tierra sobre la manzana no tardaban tiempo alguno. Por otra parte, la columna vertebral de la relatividad especial de Einstein era la tesis de que ningún objeto, energía ni información podía viajar a mayor velocidad que la luz. Entonces, ¿cómo podía hacerlo la gravedad? Como indica el siguiente ejemplo, las consecuencias de esta contradicción podrían ser fatídicas para conceptos tan fundamentales como nuestra percepción de causa y efecto.

Imaginemos que, de algún modo, el Sol desapareciese de repente. Libre de la fuerza que la mantiene en su órbita, la Tierra (según Newton) empezaría a moverse inmediatamente en línea recta (salvo pequeñas desviaciones provocadas por la gravedad de los otros planetas). Sin embargo, el Sol tardaría ocho minutos en desaparecer de la vista de los habitantes de la Tierra, el tiempo que tarda la luz en recorrer la distancia que separa el Sol de la Tierra. En otras palabras, el cambio en el movimiento de la Tierra precedería a la desaparición del Sol.

Para evitar este conflicto y, al mismo tiempo, tratar de resolver la pregunta sin respuesta de Newton, Einstein emprendió una búsqueda cuasiobsesiva de una nueva teoría de la gravedad. Se trataba de una empresa formidable. Cualquier nueva teoría, no sólo debía tener en cuenta y conservar los notables éxitos logrados por la teoría de Newton, sino también explicar el funcionamiento de la gravedad de forma compatible con la relatividad especial. Tras unas cuantas salidas en falso y divagaciones sin rumbo, Einstein logró su objetivo en 1915. Su
relatividad general
sigue considerándose una de las teorías más bellas de la historia.

La idea que constituye el fundamento de la pionera estructura de Einstein es que la gravedad no es más que deformaciones en el tejido del espacio y el tiempo. Según Einstein, de igual modo que las pelotas de golf siguen las curvas y relieves del
green,
los planetas siguen trayectorias curvadas en el espacio deformado que representa la gravedad del Sol. En otras palabras, en ausencia de materia u otras formas de energía, el espacio-tiempo (la estructura que unifica las tres dimensiones del espacio y la del tiempo) sería plano. La materia y la energía deforman el espacio-tiempo del mismo modo que una bola de
bowling
haría combarse una cama elástica. Los planetas se limitan a seguir los caminos directos en esta geometría curvada, que es una manifestación de la gravedad. Al solucionar el problema del funcionamiento de la gravedad, Einstein proporcionó también la estructura para responder a la pregunta de «con qué velocidad se propaga», que se reducía a determinar la velocidad con que las deformaciones del espacio-tiempo son capaces de viajar. Se trataba de algo similar a calcular la velocidad de las ondas en un estanque. Einstein fue capaz de probar que, en la relatividad general, la velocidad de la gravedad era precisamente la velocidad de la luz, eliminando así la discrepancia entre la teoría de Newton y la relatividad especial. Si el Sol desapareciese, el cambio en la órbita de la Tierra tendría lugar ocho minutos más tarde, y coincidiría con la observación de la desaparición.

El hecho de que Einstein convirtiese el espacio-tiempo deformado de cuatro dimensiones en la piedra angular de su nueva teoría del cosmos se tradujo en la imperiosa necesidad de crear una teoría matemática para esas entidades geométricas. Desesperado, recurrió a un antiguo compañero de clase, el matemático Marcel Grossmann (1878-1936): «He adquirido un inmenso respeto por la matemática, cuyas partes más sutiles consideraba antes nada más que productos suntuarios». Grossmann señaló que la geometría no euclidiana de Riemann (descrita en el capítulo 6) era precisamente la herramienta que Einstein estaba buscando: una geometría de espacios curvados de cualquier número de dimensiones. Se trataba de una demostración palpable de lo que he venido llamando la eficacia «pasiva» de la matemática, y Einstein lo reconoció de inmediato: «Podemos de hecho considerarla [la geometría] como la rama más antigua de la física», declaró, «y sin ella me hubiese sido imposible formular la teoría de la relatividad».

La relatividad general ha sido también comprobada hasta un extraordinario grado de precisión. Obtener estas pruebas no es tarea fácil, ya que la curvatura del espacio-tiempo que introducen objetos como el Sol se mide en partes por millón. Las primeras pruebas estaban asociadas a observaciones dentro del propio sistema solar (como minúsculos cambios en la órbita del planeta Mercurio en comparación con las predicciones de la gravedad de Newton), pero en tiempos más recientes ha sido posible acceder a procedimientos más exóticos. Una de las primeras comprobaciones utiliza un objeto astronómico denominado pulsar doble.

Un pulsar es una estrella extraordinariamente compacta, fuente de emisión de ondas de radio, cuya masa es algo superior a la del Sol, pero cuyo radio es sólo de unos diez kilómetros. La densidad de este tipo de estrellas (denominadas
estrellas de neutrones)
es tan alta que un centímetro cúbico de su materia tiene una masa de ¡más de 60 millones de toneladas! Muchas de estas estrellas de neutrones giran a gran velocidad al tiempo que emiten ondas de radio desde sus polos magnéticos. Cuando el eje magnético se halla a un cierto ángulo respecto del eje de rotación (como se muestra en la figura 61), el haz de radio de uno de los polos puede cruzar nuestra línea de visión una vez con cada rotación, como el destello de luz de un faro.