¿Es Dios un Matemático? (38 page)

Dicho de otra forma, si AC/CB = AB/AC, cada una de estas proporciones se denomina «razón extrema y media». Desde el siglo XIX, esta razón se denomina popularmente
Razón áurea.
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Basta un poco de álgebra básica para hallar que la razón áurea es igual a (1+√5)/2 = 1,6180339887…

La primera pregunta que uno puede plantearse es por qué Euclides se tomó el trabajo de definir esta división en especial y asignar un nombre a la razón. Después de todo, una línea se puede dividir de infinitas formas. La respuesta a esta pregunta se halla en la herencia cultural y mística de los pitagóricos y de Platón. Recordemos que los pitagóricos estaban obsesionados por los números. Pensaban que los números impares eran masculinos y buenos y, mostrando un cierto prejuicio, que los pares eran femeninos y malos. Tenían una afinidad especial por el número 5, la unión del 2 y del 3, el primer número par (femenino) y el primero impar (masculino). (El número 1 no se consideraba un número, sino el generador de todos los números.) Así, para los pitagóricos, el número 5 representaba el amor y el matrimonio, y utilizaban el pentagrama (la estrella de cinco puntas de la figura 63) como símbolo de su hermandad.

Y aquí es donde hace su aparición por primera vez la razón áurea. Si se toma un pentagrama regular, la razón entre el lado de cualquiera de los triángulos y su base implícita (a/b en la figura 63) es precisamente igual a la razón áurea. De forma similar, la razón entre cualquiera de las diagonales de un pentágono regular y su lado (c/d en la figura 64) es también igual a la razón áurea.

De hecho, para construir un pentágono con una regla y un compás (el proceso habitual de construcción geométrica para los antiguos griegos) es necesario dividir una línea según la razón áurea.

Platón agregó un nuevo aspecto al significado mítico de la razón áurea. Los antiguos griegos creían que todo el universo se componía de cuatro elementos: tierra, fuego, aire y agua. En
Timeo,
Platón intentaba explicar la estructura de la materia utilizando los cinco sólidos regulares que actualmente llevan su nombre, los
sólidos platónicos
(figura 65).

Estos sólidos convexos (el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro) son los únicos cuyas caras son polígonos regulares iguales (en cada sólido) y cuyos vértices se hallan sobre una esfera. Platón asoció cuatro de los sólidos con los cuatro elementos cósmicos básicos. Por ejemplo, la Tierra estaba asociada con el estable cubo, el penetrante fuego con el puntiagudo tetraedro, el aire con el octaedro y el agua con el icosaedro. Acerca del dodecaedro (figura 65 (d)), Platón escribía en
Timeo:
«Quedando una sola figura compuesta, la quinta, Dios la utilizó para el Todo, y la bordó con motivos y dibujos». Así, el dodecaedro representaba el universo en su conjunto. Vale la pena observar que la razón áurea es parte indisoluble del dodecaedro, con sus doce caras pentagonales. Tanto su volumen como su superficie pueden expresarse en función de la razón áurea de forma simple (también en el caso del icosaedro).

Así, la historia nos enseña que, a base de muchos ensayos y errores, los pitagóricos y sus seguidores
descubrieron
formas de construir ciertas figuras geométricas que representan conceptos importantes desde su perspectiva, como el amor y el cosmos en su conjunto. No es sorprendente que, junto con Euclides (que documentó esta tradición)
inventasen el concepto
de razón áurea, relacionado con estas construcciones, y lo nombrasen. A diferencia de cualquier otra razón arbitraria, el número 1,618… se convirtió en el foco de una intensa investigación a lo largo de la historia, y en la actualidad sigue apareciendo en los lugares más insospechados. Por ejemplo, dos milenios después de Euclides, el astrónomo alemán Johannes Kepler
descubrió
que este número aparece, de forma casi milagrosa, en relación con una secuencia numérica denominada
serie de Fibonacci.
La característica de la serie de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…) es que, a partir del tercero, cada número es la suma de los dos anteriores (esto es: 2 = 1 + 1; 3 = 1 + 2; 5 = 2 + 3; etc.) Al dividir cada número de la serie por el inmediatamente anterior (por ejemplo, 144/89; 233/144 …), se halla que los cocientes oscilan, pero se van aproximando a la razón áurea al avanzar en la secuencia. Por ejemplo (redondeando al sexto decimal): 144/89 = 1,617978; 233/144 = 1,618056; 377/233 = 1,618026, etc.

En épocas más modernas, la serie de Fibonacci (y, junto a ella, la razón áurea) se han hallado en la disposición de las hojas de algunas plantas (un fenómeno denominado
filotaxis)
y en la estructura de los cristales de ciertas aleaciones de aluminio.

¿Por qué considero que la definición de Euclides del
concepto
de razón áurea es un invento? Porque la inventiva de Euclides señaló esta razón en particular y atrajo a ella la atención de los matemáticos. Por otro lado, en China, donde el concepto de razón áurea no se había
inventado,
la literatura matemática no contenía esencialmente referencia alguna a ella. En la India, en donde tampoco se había inventado el concepto, la razón áurea aparece de forma lateral únicamente en algunos insignificantes teoremas de trigonometría.

Se pueden hallar numerosos ejemplos para demostrar que la pregunta «La matemática ¿es descubierta o inventada?» está mal planteada. Nuestra matemática es una
combinación de inventos y descubrimientos.
Los axiomas de la geometría euclidiana como
concepto
fueron un invento, del mismo modo que lo fueron las reglas del ajedrez. Los axiomas fueron complementados asimismo por otros diversos conceptos inventados, como triángulos, paralelogramos, elipses, la razón áurea y otros. Por otro lado, los teoremas de la geometría euclidiana fueron en su mayor parte descubrimientos; se trataba de los caminos que vinculaban entre sí los distintos conceptos. En algunos casos, las demostraciones generaron los teoremas: los matemáticos examinaban lo que podían demostrar y a partir de ahí deducían los teoremas. En otros casos, como describe Arquímedes en
El método,
se halló primero la
respuesta
a determinada cuestión de interés y, a continuación, se averiguaba la demostración.

En general, los conceptos eran inventados. Como
concepto,
los números primos eran un invento, pero todos los teoremas acerca de números primos fueron descubiertos.
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Los matemáticos de la antigua Babilonia, Egipto y China no inventaron nunca el concepto de número primo, a pesar del avanzado estado de su matemática. ¿Podríamos decir que simplemente no habían «descubierto» los números primos? No más de lo que podemos afirmar que el Reino Unido no «descubrió» una constitución única, codificada y documental. Del mismo modo que un país puede sobrevivir sin constitución, sin el concepto de número primo es posible desarrollar una matemática elaborada. ¡Y vaya si lo era!

¿Sabemos por qué los griegos inventaron conceptos como los axiomas y los números primos? Aunque no es posible afirmarlo con seguridad, podemos suponer que formaba parte de su incansable afán por investigar los constituyentes fundamentales del universo. Los números primos eran los bloques de construcción básicos de los números, del mismo modo que los «átomos» lo eran de la materia. De forma parecida, los axiomas eran la fuente de la que manaban, según se suponía, todas las verdades de la geometría. El dodecaedro representaba todo el cosmos, y la razón áurea era el concepto que otorgaba existencia a ese símbolo.

Este debate saca a relucir otro de los aspectos interesantes de la matemática: que ésta forma parte de la cultura humana. Una vez que los griegos inventaron el método axiomático, los matemáticos europeos que vinieron a continuación siguieron sus pasos y adoptaron la misma filosofía y las mismas prácticas. Como observó el antropólogo Leslie A. White (1900-1975): «Si Newton se hubiese criado dentro de la cultura de una tribu de Sudáfrica, hubiese calculado como un miembro de la tribu».
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Lo más probable es que sea esta estructura cultural de la matemática la responsable de que muchos de los descubrimientos matemáticos (como los invariantes de nudos) e incluso algunos de los principales inventos (como el cálculo) los hiciesen de forma simultánea varias personas trabajando de modo independiente.

En una sección anterior he comparado la trascendencia del concepto abstracto de un número con el del significado de una palabra. La matemática ¿es un tipo de lenguaje? Desde el punto de vista de la lógica matemática, por un lado, y de la lingüística, por otro, parece que, hasta cierto punto, lo es. Las obras de Boole, Frege, Peano, Russell, Whitehead, Gödel y sus actuales seguidores (en especial en áreas tales como la sintaxis y la semántica filosóficas, en paralelo con la lingüística) han demostrado que la gramática y el razonamiento están íntimamente relacionados con el álgebra de la lógica simbólica. Entonces, ¿por qué hay más de 6.500 lenguas pero sólo una matemática? En realidad, las distintas lenguas tienen numerosas características de diseño comunes. Por ejemplo, en la década de 1960, el lingüista norteamericano Charles F. Hockett (1916-2000) señaló que todas las lenguas tienen incorporados mecanismos para la adquisición de nuevas palabras y expresiones (por ejemplo, «ratón», «portátil», «música indie», etc.)
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Del mismo modo, las lenguas humanas permiten expresar la abstracción (por ejemplo, surrealismo, ausencia o grandeza), la negación (como «no» o «ninguno») y la hipótesis («si la abuela hubiese tenido ruedas podría haber sido un autobús»). Quizá dos de las características más importantes de las lenguas sean
el hecho de que
son abiertas
y
su libertad para responder a estímulos.
La primera represen ta la capacidad para crear y comprender frases que nunca antes se han dicho.
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Por ejemplo, yo podría crear con facilidad una frase como «No se puede reparar la presa de Hoover con chicle» y, aunque lo más probable es que nunca antes haya oído esa frase, la entenderá sin ningún problema. La libertad de respuesta a estímulos es la capacidad de elegir cómo responder a un estímulo recibido, o incluso si queremos responder. Por ejemplo, la respuesta a la pregunta de la cantautora Carole King en su canción
Will You Still Love Me Tomorrow?
podría ser cualquiera de éstas: «No sé si seguiré vivo mañana», «Por supuesto», «Ni siquiera te quiero hoy», «No tanto como a mi perro», «Esta es sin duda tu mejor canción» o incluso «Me pregunto quién ganará el Open de Australia este año». Muchas de estas características (abstracción, negación, apertura y capacidad de evolución) son también típicas de la matemática.
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Los lingüistas cognitivos señalan también que las lenguas humanas utilizan metáforas para expresar casi cualquier cosa. Y lo que es aún más importante: desde 1957, el año en que el célebre lingüista Noam Chomsky publicó su revolucionaria obra
Syntactic Structures,
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una gran parte de los esfuerzos de los lingüistas se han dedicado al concepto de gramática universal, es decir, los principios subyacentes a todas las lenguas. Dicho de otro modo, lo que parece una Torre de Babel de diversidad puede en realidad ocultar una sorprendente similitud estructural. De hecho, si no fuese así, probablemente los diccionarios nunca hubiesen servido para nada.