¿Es Dios un Matemático? (37 page)

Tegmark sostiene que «nuestro universo no sólo se describe mediante la matemática, sino que
es
matemática» (la cursiva es mía).
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Su argumento empieza por la hipótesis no especialmente polémica de que existe una realidad física externa independiente de los seres humanos. A continuación pasa a examinar cuál podría ser la naturaleza de una teoría que englobase dicha realidad (lo que los físicos llaman una «Teoría de todo»). Al ser este mundo físico totalmente independiente de los humanos, sigue Tegmark, su descripción debe estar libre de cualquier «carga» humana (en particular, el lenguaje humano). En otras palabras, la teoría definitiva no puede incluir conceptos tales como «partículas subatómicas», «cuerdas vibratorias», «deformación del espacio-tiempo» u otros constructos concebidos por el hombre. Partiendo de esta base, Tegmark llega a la conclusión de que la única descripción posible del cosmos implica únicamente conceptos abstractos y relaciones entre ellos, lo que para él constituye la definición operativa de la matemática.

El argumento de Tegmark para una realidad matemática es realmente fascinante y, en el caso de resultar cierto, supondría un avance crucial hacia la solución del problema de la «inexplicable eficacia» de la matemática. En un universo identificado con la matemática, el hecho de que esta disciplina se ajuste como un guante al comportamiento de la naturaleza no puede resultar sorprendente. Por desgracia, en mi opinión el razonamiento de Tegmark no es especialmente persuasivo. El salto de la existencia de la realidad externa (independiente de los seres humanos) a la conclusión de que, en palabras de Tegmark, «es necesario creer en lo que yo denomino la hipótesis del universo matemático: que nuestra realidad física es una estructura matemática», implica, en mi opinión, un juego de prestidigitación. Tegmark intenta caracterizar lo que realmente es la matemática con estas palabras: «Para el lógico moderno, una estructura matemática es precisamente un conjunto de entidades abstractas y las relaciones entre ellas». ¡Pero este lógico moderno es humano! En otras palabras, Tegmark no
demuestra
en ningún momento que nuestra matemática no ha sido inventada por los seres humanos, sino que se limita a darlo por sentado. Además, tal como señala el neurobiólogo francés Jean-Pierre Changeux en respuesta a una tesis similar: «Afirmar la realidad física de los objetos matemáticos en el mismo nivel que los fenómenos naturales que se estudian en biología plantea, en mi opinión, un considerable problema epistemológico. ¿Cómo puede un estado físico interno de nuestro cerebro representar otro estado físico externo a él?».
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Otros intentos de situar los objetos matemáticos en la realidad física externa se apoyan simplemente en la eficacia de la matemática para explicar la naturaleza. Pero en estos casos se supone que no es posible ninguna otra explicación de la eficacia de la matemática, lo que, como mostraré más adelante, es falso.

Si la matemática no reside en el mundo platónico, fuera del espacio y del tiempo, ni en el mundo físico, ¿significa que es únicamente un invento de los seres humanos? Por supuesto que no. De hecho, mi razonamiento en la próxima sección será que la mayoría de la matemática consiste en descubrimiento. Pero, antes de avanzar más allá, será útil examinar las opiniones de los científicos cognitivos contemporáneos. El motivo es que, aunque la matemática consistiese únicamente en descubrimientos, serían de todos modos descubrimientos llevados a cabo por matemáticos humanos utilizando sus cerebros.

Con el fabuloso avance de las ciencias cognitivas en los últimos años, era lógico pensar que los neurobiólogos y los psicólogos prestasen atención a la matemática y, específicamente, a la búsqueda de los fundamentos de la matemática en la cognición humana. Un somero repaso a las conclusiones de la mayor parte de científicos cognitivos puede traer a la mente la frase de Mark Twain: «Si un hombre empuña un martillo, todo le parece un clavo». Salvo por pequeñas variaciones en el énfasis, prácticamente todos los neuropsicólogos y biólogos determinan que la matemática es un invento humano. Sin embargo, al prestar una mayor atención a los detalles, se aprecia que, a pesar de que la interpretación de los datos cognitivos es más bien ambigua, no hay duda de que el punto de vista cognitivo representa una fase nueva y pionera en la búsqueda de los fundamentos de la matemática. He aquí una pequeña pero representativa muestra de los comentarios de los científicos cognitivos.

El neurocientífico francés Stanislas Dehaene, cuyo principal interés es la cognición de los números, concluía en su libro de 1997
The Number Sense:
«La intuición de los número está profundamente implantada en nuestro cerebro».
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Esta postura es, de hecho, próxima a la de los intuicionistas, que pretendían basar toda la matemática en la forma pura de la intuición de los números naturales. Dehaene razona que los descubrimientos efectuados en psicología acerca de la aritmética confirman que «el número forma parte de los objetos naturales del pensamiento, las categorías innatas mediante las cuales percibimos el mundo». A partir de otro estudio llevado a cabo con los Mundurukú (un grupo indígena amazónico completamente aislado), Dehaene y sus colaboradores agregaron un juicio similar acerca de la geometría en 2006: «La comprensión espontánea de los conceptos geométricos y de los mapas por parte de esta remota comunidad humana ofrece pruebas de que los conocimientos geométricos fundamentales, igual que la aritmética básica, son constituyentes universales de la mente humana».
^[262]
Pero no todos los científicos cognitivos están de acuerdo con estas conclusiones.
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Algunos señalan, por ejemplo, que el éxito obtenido por los Mundurukú en el reciente estudio geométrico, en el que tenían que identificar una curva entre líneas rectas, un rectángulo entre cuadrados, una elipse entre círculos, etc., podría tener más relación con su capacidad visual para distinguir un objeto distinto entre otros iguales que un conocimiento geométrico innato.

El neurobiólogo francés Jean-Pierre Changeux, en un fascinante diálogo acerca de la naturaleza de la matemática con el matemático (de sensibilidad platónica) Alain Connes, publicado en
Conversations on Mind, Matter, and Mathematics
obsevaba lo siguiente:
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«La razón de que los objetos matemáticos no tienen nada que ver con el mundo perceptible tiene que ver … con su carácter generativo, su capacidad de dar origen a otros objetos. Es necesario destacar aquí que existe en el cerebro lo que podríamos llamar un «compartimiento consciente», una especie de espacio físico para la simulación y creación de nuevos objetos … En algunos sentidos, estos nuevos objetos matemáticos se comportan como seres vivos: como los seres vivos, son objetos físicos susceptibles de evolucionar de forma muy rápida; a diferencia de los seres vivos, con la excepción específica de los virus, evolucionan en nuestro cerebro».

Finalmente, la afirmación más categórica en el debate de invención contra descubrimiento la efectuaron el lingüista cognitivo George Lakoff y el psicólogo Rafael Núñez en su controvertido libro
Where Mathematics Comes From,
en el que declaraban:
^[265]

La matemática es una parte natural de nuestra condición humana; surge de nuestro cuerpo, de nuestro cerebro y de nuestra experiencia cotidiana del mundo. (Lakoff y Núñez hablan pues de la matemática como algo que surge de una «mente encarnada») … La matemática es un sistema de conceptos humanos que utiliza de forma extraordinaria las herramientas ordinarias de la cognición humana … Los seres humanos somos los responsables de la creación de la matemática, y de su conservación y ampliación. El retrato de la matemática tiene rostro humano.

Los científicos cognitivos basan sus conclusiones en lo que consideran una persuasiva abundancia de pruebas que son el resultado de numerosos experimentos. Algunas de estas pruebas incluyen estudios con imágenes funcionales del cerebro durante la realización de tareas matemáticas. Otros han examinado la competencia matemática de niños, de grupos de cazadores-recolectores que no han sufrido escolarización, como los Mundurukú, y de personas con diversos grados de daños cerebrales. Casi todos los investigadores están de acuerdo en que algunas capacidades matemáticas parecen ser innatas. Por ejemplo, todos los humanos son capaces de apreciar de un vistazo si están viendo uno, dos o tres objetos (esta capacidad se denomina
subitizar).
Una versión muy limitada de la aritmética (las operaciones de agrupar, emparejar y adiciones y sustracciones muy simples) podría también ser innata, del mismo modo que una comprensión muy básica de los conceptos geométricos (aunque esta última afirmación es más polémica). Los neurocientíficos han identificado también regiones del cerebro, como el giro angular en el hemisferio izquierdo,
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que parecen ser esenciales para la manipulación de números y cálculos matemáticos, pero que no son esenciales para el lenguaje ni para la memoria operativa.

Según Lakoff y Núñez, una de las principales herramientas para el avance más allá de las habilidades innatas es la construcción de metáforas conceptuales mediante procesos que traducen conceptos a otros más concretos. Por ejemplo, la concepción de la aritmética se fundamenta en una metáfora básica, la de la recolección de objetos. Por otra parte, el álgebra de clases de Boole, más abstracta, vinculaba de forma metafórica clases a números. El elaborado escenario desarrollado por Lakoff y Núñez ofrece puntos de vista interesantes sobre las razones por las que los seres humanos encuentran algunos conceptos matemáticos mucho más difíciles que otros. Otros investigadores, como la neurocientífíca cognitiva Rosemary Varley de la Universidad de Sheffield,
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sugieren que como mínimo algunas estructuras matemáticas parasitan la facultad del lenguaje, es decir, las capacidades matemáticas se desarrollan a partir de las herramientas mentales utilizadas para construir el lenguaje.

Los científicos cognitivos abogan claramente por una asociación de nuestra matemática con la mente humana y se oponen al platonismo. De todos modos, es interesante apreciar que el argumento, en mi opinión, más claro contra el platonismo no viene de la neurobiología, sino de sir Michael Atiyah, uno de los matemáticos más insignes del siglo XX. De hecho, ya mencioné su línea de razonamiento en el capítulo 1, pero ahora me gustaría presentarla con mayor detalle.

Si tuviese que elegir el concepto de nuestra matemática con mayor probabilidad de existir de forma independiente de la mente humana, ¿cuál elegiría? La mayor parte de las personas llegarían posiblemente a la conclusión de que deben ser los números naturales. ¿Qué puede haber más «natural» que 1, 2, 3…? Incluso el matemático alemán Leopold Kronecker (1823-1891), de tendencia intuicionista, declaró: «Dios creó los números naturales. Todo lo demás es obra del hombre». Así, si se pudiese demostrar que incluso el concepto de número natural tiene su origen en la mente humana, representaría un gran avance en favor del paradigma del «invento». Atiyah expone de este modo sus argumentos como ya vimos: «Pero imaginemos que la inteligencia no se hubiese desarrollado en el hombre, sino en una especie de medusa colosal, solitaria y aislada en los abismos del océano Pacífico. Este ente no tendría experiencia alguna de los objetos individuales, ya que sólo estaría rodeado de agua. Sus datos sensoriales básicos se reducirían a movimiento, temperatura y presión. En este continuo puro, el concepto de discreto no podría surgir ni, por consiguiente, habría nada que contar».
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En otras palabras, Atiyah está convencido de que incluso algo tan básico como el concepto de número natural ha sido
creado
por los seres humanos mediante la abstracción (o, como dirían los científicos cognitivos, a través de metáforas primarias) de elementos del mundo físico. Dicho de otro modo, el número 12, por ejemplo, representa una abstracción común a todos los objetos que van agrupados en docenas, de la misma forma que la palabra «pensamientos» representa una diversidad de procesos que tienen lugar en nuestro cerebro.

El lector puede poner objeciones al uso como prueba del universo hipotético de la medusa, argumentando que sólo existe un único universo inevitable y que cada suposición debe examinarse en el contexto de este universo. Sin embargo, esto sería equivalente a admitir que el concepto de número natural depende de algún modo del universo de experiencias humanas. Obsérvese que Lakoff y Núñez se referían precisamente a esto cuando hablaban de la matemática como algo «encarnado».

Hasta ahora he argumentado que los conceptos de nuestra matemática tienen su origen en la mente humana, y quizá se pregunte por qué había insistido anteriormente en que gran parte de la matemática es, de hecho, descubierta, lo que parece estar más próximo al platonismo.

En el lenguaje cotidiano, la distinción entre invento y descubrimiento es en ocasiones de una claridad meridiana, mientras que en otras es algo más borroso. Nadie diría que Shakespeare descubrió Hamlet ni que Madame Curie inventó el radio. Al mismo tiempo, los nuevos fármacos para el tratamiento de ciertas enfermedades se suelen anunciar como descubrimientos, a pesar de que con frecuencia implican la meticulosa síntesis de nuevos compuestos químicos. Me gustaría describir en cierto detalle un ejemplo matemático muy específico que ayudará, no sólo a aclarar la diferencia entre invento y descubrimiento, sino que ofrecerá también valiosa información sobre los procesos de evolución y progreso de la matemática.

En el Libro VI de los
Elementos,
la monumental obra de Euclides sobre geometría, hay una definición de cierta división de una línea en dos partes desiguales (el Libro II contiene otra definición, en términos de áreas). Según Euclides, si una línea AB se divide mediante un punto C de tal modo (figura 62) que la relación entre las longitudes de los dos segmentos (AC/CB) sea igual a la de la línea dividida por el segmento más largo (AB/AC), se dice que la línea se ha dividido en «extrema y media razón».