¿Es Dios un Matemático? (16 page)

Echemos un vistazo al mapa parcial de Manhattan que se muestra en la figura 24.

Si uno se encuentra en la esquina de la Calle Treinta y cuatro con la Octava Avenida y tiene que reunirse con alguien en la esquina de la Calle Cincuenta y nueve y la Quinta Avenida, no hay problema alguno para encontrar el camino, ¿verdad? En esto consistía la esencia de la nueva geometría de Descartes, que esbozó en un apéndice de 106 páginas titulado
La Géometrié
en su
Discurso del método.
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Por difícil de creer que resulte, este concepto notablemente simple revolucionó la matemática. Descartes empezó por el hecho casi trivial de que, tal como se puede ver en el mapa de Manhattan, una pareja de números pueden determinar sin ambigüedad la posición de un punto en el plano (por ejemplo, el punto A de la figura 25a).

A continuación empleó este hecho para desarrollar una potente teoría de curvas: la
geometría analítica.
En honor a Descartes, la pareja de líneas rectas perpendiculares que nos proporcionan el sistema de referencia se denomina sistema de coordenadas «cartesiano». Tradicionalmente, la línea horizontal se llama «eje x», la vertical «eje y», y el punto de intersección «origen». El punto marcado como A en la figura 25a, por ejemplo, tiene 3 como coordenada
x
y 5 como coordenada);, lo que se denota simbólicamente como (3,5) [al origen se le asignan las coordenadas (0, 0)]. Supongamos que queremos clasificar de algún modo todos los cuerpos del plano que se hallan a una distancia exacta de 5 unidades del origen. Ésta es, precisamente, la definición geométrica de un círculo centrado en el origen, con un radio de 5 unidades (figura 25b). Si tomamos el punto (3, 4) de este círculo, se puede hallar que sus coordenadas cumplen la igualdad 3
²
+ 4
²
= 5
²
. De hecho, es fácil demostrar (mediante el teorema de Pitágoras) que las coordenadas
(x, y)
de cualquier punto de este círculo cumplen
x
²
+ y
²
=
5
²
. Es más, los puntos del círculo son los
únicos
puntos del plano que cumplen la igualdad
x
²
+
y
²
= 5
²
. Pero eso significa que la ecuación algebraica
x
²
+ y
²
=
5
²
caracteriza este círculo de forma única y precisa. En otras palabras, Descartes descubrió una forma de representar una curva geométrica mediante una ecuación algebraica o de forma numérica, y viceversa.
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No parece que esto sea demasiado emocionante para un simple círculo, pero cualquier gráfico, ya sea las fluctuaciones semanales de las bolsas, la temperatura del Polo Norte durante el último siglo o el ritmo de crecimiento del universo, se basa en esta ingeniosa idea de Descartes. De pronto, la geometría y el álgebra habían dejado de ser dos ramas independientes de la matemática para ser dos formas de representar los mismos hechos. La ecuación que describe una curva contiene de forma implícita cualquier propiedad imaginable de la curva, incluidos, por ejemplo, todos los teoremas de la geometría euclidiana. Y la cosa no acababa ahí. Descartes señaló que se podían dibujar varias curvas en el mismo sistema de coordenadas y que sus puntos de intersección se podían hallar simplemente hallando las soluciones comunes de sus respectivas ecuaciones algebraicas. De este modo, Descartes aprovechaba las virtudes del álgebra para corregir lo que se le antojaban alarmantes deficiencias de la geometría clásica. Por ejemplo, Euclides definía un punto como una entidad sin partes componentes ni magnitud. Esta vaga definición quedó para siempre obsoleta desde el momento en que Descartes definió un punto en el plano simplemente como un par ordenado de números
(x, y)
. Pero estos novísimos puntos de vista no eran más que la punta del iceberg. Si se pueden relacionar dos cantidades
x
e
y
de modo que, a cada valor de
x
le corresponde un único valor de
y,
constituyen lo que se denomina
función,
y las funciones son entidades verdaderamente ubicuas. Tanto el seguimiento diario de su peso en una dieta, como la evolución de la altura de sus hijos en los consecutivos cumpleaños o la relación entre los kilómetros recorridos por su coche y la velocidad son funciones.

Las funciones son realmente el pan de cada día para los científicos, estadísticos y economistas modernos. Una vez que numerosos experimentos científicos u observaciones generan las mismas interrelaciones funcionales, éstas pueden alcanzar el estado de «leyes de la naturaleza» —descripciones matemáticas de un comportamiento que los fenómenos naturales obedecen—. Por ejemplo, la ley de la gravitación de Newton, a la que volveremos más adelante en este capítulo, establece que, cuando se duplica la distancia entre dos masas, la atracción gravitatoria entre ambas decrece siempre en un factor de cuatro. Las ideas de Descartes abrieron las puertas a una
matematización sistemática de casi todo,
la esencia de la noción «Dios es un matemático». Desde un punto de vista puramente matemático, el establecimiento de la
equivalencia
de dos perspectivas de la matemática (la algebraica y la geométrica) que se consideraban dispares, Descartes amplió el horizonte de la matemática y allanó el camino hacia la moderna disciplina del
análisis,
que permite a los matemáticos pasar de una subdisciplina de esta ciencia a otra con comodidad. En consecuencia, no sólo un gran número de fenómenos diversos pasaron a poder ser descritos mediante la matemática, sino que la matemática en sí misma se hizo más amplia, rica y unificada. En palabras del gran matemático Joseph-Louis Lagrange (1736-1813): «Mientras el álgebra y la geometría seguían caminos propios, su progreso era lento y sus aplicaciones, limitadas. Pero cuando estas dos ciencias se unieron, cada una obtuvo frescura y vitalidad de la otra y, a partir de ese momento, caminaron juntas en veloz marcha hacia la perfección».

A pesar de la importancia de los logros de Descartes en matemática, su interés científico no se limitaba a esta disciplina. La ciencia, decía, es como un árbol en el que la metafísica es la raíz; la física, el tronco; y las tres principales ramas son la mecánica, la medicina y la moral. La selección de ramas de Descartes puede parecer sorprendente al principio, pero de hecho simbolizaban perfectamente las tres principales áreas en las que pretendía aplicar sus nuevas ideas: el universo, el cuerpo humano y la conducta. Descartes pasó los primeros cuatro años de su estancia en Holanda (de 1629 a 1633) escribiendo su tratado sobre cosmología y física,
Le Monde.
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Sin embargo, con el libro a punto de entrar en imprenta, Descartes recibió una perturbadora noticia que le conmocionó. En una carta a su amigo y crítico, el filósofo natural Marín Mersenne (1588-1648), se lamentaba:

Era mi intención enviarle mi
Mundo
como regalo de Año Nuevo, y hace tan sólo dos semanas estaba plenamente decidido a enviarle, como mínimo, una parte de él, si no hubiese sido posible copiar la totalidad de la obra. Pero, en el ínterin, consulté en Leiden y en Ámsterdam la disponibilidad del
Sistema del mundo
de Galileo, pues creía haber oído algo acerca de su publicación en Italia el año pasado. Me dijeron que, en efecto, se había publicado, pero que todas las copias habían sido inmediatamente quemadas en Roma, y que Galileo había sido condenado y multado. Quedé tan asombrado por la noticia que casi decidí quemar todas mis notas o, al menos, no dejar que nadie las viese. Pues no podía imaginar que él —italiano y, según tengo entendido, en buenas relaciones con el Papa— pudiese haber sido calificado de criminal por una razón que no fuese, como sin duda debía de ser el caso, establecer que la Tierra se movía. Tenía conocimiento de que ciertos cardenales habían censurado esta opinión, pero creía haber oído que de todos modos se enseñaba públicamente en Roma.
Debo admitir que, si esa aseveración resulta ser falsa, lo son también las bases todas de mi filosofía,
pues a partir de ellas se puede demostrar muy claramente. Y está tan entretejida con todas las partes de mi tratado que no podría prescindir de ella sin que la totalidad de la obra resultase defectuosa. Pero por nada del mundo querría publicar un discurso en el que una sola de sus palabras no fuese del agrado de la Iglesia; así que prefería suprimirlo antes que publicarlo en forma mutilada… (La cursiva es mía.)

En efecto, Descartes había abandonado
El mundo
(el manuscrito incompleto fue finalmente publicado en 1664), pero incorporó casi todos sus resultados en sus
Principios de filosofía,
que aparecieron en 1644. En este discurso sistemático, Descartes presentaba sus «leyes de la naturaleza» y su teoría de los vórtices. Dos de sus leyes son muy similares a las famosas primera y segunda leyes del movimiento de Newton,
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pero las otras eran, de hecho, incorrectas. La teoría de vórtices tenía como hipótesis que el Sol se hallaba en el centro de un torbellino creado en el
continuum
de materia cósmica. Se suponía que este vórtice arrastraba a los planetas como hojas en un remolino de un río. A su vez, los planetas formaban sus propios vórtices secundarios que arrastraban los satélites a su alrededor. Aunque la teoría de los vórtices de Descartes resultó ser espectacularmente errónea (como señaló implacable Newton más adelante), era de todos modos interesante, ya que era el primer intento serio de formular una teoría del universo en su conjunto, basada en las mismas leyes que se aplican en la superficie de la Tierra. En otras palabras, para Descartes no había diferencia entre los fenómenos «terrestres» y «celestes»; la Tierra era parte de un universo que obedecía leyes físicas uniformes. Por desgracia, Descartes hizo caso omiso de sus propios principios al construir una detallada teoría que no se basaba ni en principios matemáticos coherentes ni en observaciones. Sin embargo, el escenario de Descartes, en el que el Sol y los planetas perturban en cierto modo la materia del universo que les rodea, contenía ciertos elementos que más tarde se convirtieron en piedras angulares de la teoría de la gravitación de Einstein. En la
relatividad general
de Einstein, la gravedad no es una fuerza misteriosa que actúa a través de las vastas distancias del espacio. En realidad, los cuerpos masivos como el Sol curvan el espacio en sus proximidades, igual que una pesada bola de bolos causa que una cama elástica se hunda. En consecuencia, los planetas se limitan a seguir los caminos más cortos posibles en este espacio curvado.

De forma deliberada he dejado fuera de esta extraordinariamente breve descripción de las ideas de Descartes casi toda su influyente obra filosófica, porque esto nos hubiese alejado demasiado de nuestro centro de atención, es decir, la naturaleza de la matemática (más adelante en este capítulo volveré sobre algunas de sus opiniones sobre Dios). Pero no puedo evitar incluir el siguiente agudo comentario escrito en 1908 por el matemático británico Walter William Rouse Ball (1850-1925):

En lo que respecta a sus [de Descartes] teorías filosóficas, basta con decir que comentaba los mismos problemas que se han debatido durante los últimos dos mil años, y que probablemente se seguirán debatiendo con idéntico fervor durante dos mil años más. No es necesario destacar que los problemas en sí son de gran importancia e interés, pero por su naturaleza ninguna de las soluciones ha ofrecido nunca una prueba irrefutable en uno u otro sentido; lo único que puede lograrse es una explicación más probable que otra y, siempre que un filósofo como Descartes cree que ha resuelto de una vez por todas una cuestión, sus sucesores siempre han podido señalar alguna falacia en sus hipótesis. Una vez leí que la filosofía siempre ha estado muy interesada en las relaciones entre Dios, la Naturaleza y el Hombre. Los primeros filósofos eran griegos, y se ocupaban principalmente de las relaciones entre Dios y la Naturaleza, tratando al Hombre por separado. La Iglesia Cristiana estaba tan absorta con las interrelaciones entre Dios y el Hombre que descuidó por completo la Naturaleza. Por último, los filósofos modernos se ocupan sobre todo de las relaciones entre el Hombre y la Naturaleza. No voy a comentar aquí si ésta me parece una generalización histórica correcta de los sucesivos puntos de vista prevalentes, pero la afirmación sobre el ámbito de la filosofía moderna marca las limitaciones de los escritos de Descartes.