¿Es Dios un Matemático? (9 page)

Aunque Arquímedes es el responsable de muchos inventos pacíficos, como un tornillo hidráulico para elevar agua y un planetario que mostraba los movimientos de los cuerpos celestes, en la Antigüedad se hizo célebre por su intervención en la defensa de Siracusa contra los romanos.

A los historiadores siempre les han gustado las guerras. Por tanto, los hechos del sitio romano de Siracusa durante los años 214-212 a.C. aparecen descritos con todo lujo de detalles en las crónicas de diversos historiógrafos. El general romano Marco Claudio Marcelo (ca. 268-208 a.C), cuya fama militar era notable en aquellos días, preveía una victoria rápida. Pero lo que al parecer no tuvo en cuenta fue la testarudez del rey Hierón, ayudado por un genio de la matemática y la ingeniería. Plutarco ofrece una vivida descripción del caos que las máquinas de Arquímedes provocaron en las huestes romanas:

Al ejército, [disparó Arquímedes] con armas arrojadizas de todo género y con piedras de una mole inmensa, despedidas con increíble violencia y celeridad, las cuales no habiendo nada que resistiese a su paso, obligaban a muchos a la fuga y rompían la formación. En cuanto a las naves, a unas las asían por medio de grandes maderos con punta, que repentinamente aparecieron en el aire saliendo desde la muralla, y, alzándose en alto con unos contrapesos, las hacían luego sumirse en el mar, y a otras, levantándolas rectas por la proa con garfios de hierro semejantes al pico de las grullas, las hacían caer en el agua por la popa, o atrayéndolas y arrastrándolas con máquinas que calaban adentro las estrellaban en las rocas… A veces hubo nave que suspendida en alto dentro del mismo mar, y arrojada en él y vuelta a levantar, fue un espectáculo terrible hasta que estrellados o expelidos los marineros, vino a caer vacía sobre los muros, o se deslizó por soltarse el garfio que la asía.

El miedo a los dispositivos de Arquímedes llegó hasta tal punto que «si [los soldados romanos] veían la sombra de un trozo de cuerda o un madero sobre una pared, gritaban horrorizados "ahí está de nuevo", refiriéndose a que Arquímedes estaba lanzando contra ellos alguno de sus ingenios, y se daban media vuelta y salían huyendo». El propio Marcelo, profundamente impresionado, se quejaba a su equipo de ingenieros militares: «¿Es que nunca terminaremos de luchar contra este Briareo [el gigante de cien brazos hijo de Urano y Gea] de la geometría que, sentado junto al mar, juega al tejo con nuestros barcos para confundirnos y, por las armas arrojadizas que lanza contra nosotros, supera a los gigantes de cien brazos de la mitología?».

Según otra leyenda popular que hizo su primera aparición en los escritos del gran médico griego Galeno (ca. 129-200 d.C), Arquímedes utilizó un conjunto de espejos que enfocaban los rayos del Sol para quemar los barcos romanos.
^[69]
El arquitecto bizantino del siglo VI Antemio de Tralles y varios historiadores del siglo XII repitieron esta historia fantástica, aunque la viabilidad de tamaña proeza sigue siendo incierta. Aun así, el número de relatos cuasi-mitológicos nos proporciona un abundante testimonio de la veneración que «el sabio» inspiró en las generaciones posteriores.

Como ya he mencionado, Arquímedes (ese «Briareo de la geometría» tan altamente considerado) no tenía en demasiada consideración sus juguetes militares; más bien los veía como diversiones geométricas. Por desgracia, esa actitud distante podría finalmente haberle costado la vida. Cuando los romanos capturaron por fin Siracusa, Arquímedes estaba tan absorto dibujando sus diagramas geométricos en una bandeja de arena que apenas prestó atención al tumulto de la batalla. Según algunas narraciones, cuando un soldado romano ordenó a Arquímedes que lo siguiera para presentarlo ante Marcelo, el anciano geómetra repuso indignado: «Apártate de mis diagramas».
^[70]
Esta respuesta encolerizó al soldado hasta tal punto que, desobedeciendo las órdenes expresas de su superior, desenvainó su espada y dio muerte al mayor matemático de la Antigüedad.

La figura 11 muestra lo que se considera una reproducción del siglo XVIII de un mosaico hallado en Herculano en el que se representan los últimos momentos de la vida del «maestro».

En cierto sentido, la muerte de Arquímedes marcó el final de una era de extraordinaria vitalidad en la historia de las matemáticas. Tal como señaló el matemático y filósofo británico Alfred North Whitehead:

La muerte de Arquímedes a manos de un soldado romano es el símbolo de un cambio de primera magnitud a nivel mundial. Los romanos fueron un gran pueblo, pero estaban condenados por la esterilidad que se deriva del sentido práctico. No eran soñadores que alcanzasen nuevos puntos de vista para llegar a un control más fundamental de las fuerzas de la naturaleza.
Ningún romano perdió nunca la vida por estar absorto en la contemplación de un diagrama matemático.
(La cursiva es mía.)
^[71]

Por suerte, aunque los detalles acerca de la vida de Arquímedes escasean, muchos (aunque no todos) de sus increíbles escritos han sobrevivido. Arquímedes tenía la costumbre de enviar notas sobre sus descubrimientos matemáticos a algunos matemáticos amigos suyos o a personas que le merecían respeto. Esta exclusiva lista de corresponsales incluía, entre otros, al astrónomo Conón de Sanios, al matemático Eratóstenes de Cirene y al hijo del rey, Gelón. Tras la muerte de Conón, Arquímedes envió algunas notas al pupilo de aquél, Dositeo de Pelusio.

La obra de Arquímedes abarca una asombrosa variedad dentro de la matemática y la física.
^[72]
Estos son algunos de sus numerosos logros: ideó métodos generales para hallar las áreas de diversas figuras planas y los volúmenes limitados por todo tipo de superficies curvas, entre los que se encontraban las áreas del círculo, el segmento de parábola y la espiral, y los volúmenes del segmento de cilindro, de cono y de otras figuras generadas por la rotación de parábolas, elipses e hipérbolas; demostró que el valor del número tí, la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro, debía ser mayor que 3
¹⁰
/
₇₁
y menor que 3
¹
/
₇
; en una época en la que no existía método alguno para describir los números muy grandes inventó un sistema que le permitía, no sólo escribir, sino también manipular, números de cualquier magnitud. En física, Arquímedes descubrió las leyes que gobernaban el comportamiento de los cuerpos flotantes, estableciendo así la ciencia de la
hidrostática.
Además, calculó los centros de gravedad de muchos sólidos y formuló las leyes mecánicas de las palancas. En astronomía, efectuó observaciones para medir la longitud del año y las distancias a los planetas.

Los trabajos de muchos matemáticos griegos se caracterizaron por su originalidad y su atención a los detalles. Sin embargo, los métodos de razonamiento y resolución de Arquímedes lo situaban en una clase aparte de los científicos de su época. Permítanme describir únicamente tres ejemplos representativos que ofrecen una somera idea de la inventiva de Arquímedes. El primero de ellos, a primera vista, no parece más que una entretenida curiosidad, pero un examen más atento revela la profundidad de su inquisitivo cerebro. Las otras dos ilustraciones de los métodos arquimedianos demuestran un pensamiento tan avanzado que bastan para elevar a Arquímedes a lo que he denominado el estatus de «mago».

Al parecer, Arquímedes estaba fascinado por los números grandes. La notación ordinaria es demasiado tosca para expresar números muy grandes (intente escribir un cheque personal de 8,4 billones de dólares, la deuda nacional de Estados Unidos en julio de 2006, en el espacio asignado para la cantidad). De modo que Arquímedes desarrolló un sistema con el que podría representar incluso números de 80 trillones de dígitos. Este sistema lo utilizó en un original tratado llamado
El arenario,
para mostrar que el número total de granos de arena en el mundo no era infinito.

La misma introducción de ese tratado es tan ilustrativa que reproduciré aquí un fragmento de la misma (la introducción estaba dirigida a Gelón, el hijo del rey Hierón II):

Hay algunos, rey Gelón, que creen que el número de los granos de arena es infinito por su multitud; y cuando digo arena no solamente me refiero a la que existe alrededor de Siracusa y del resto de Sicilia sino también a la que se puede encontrar en toda región, ya sea habitada o deshabitada.También hay algunos que sin creer que sea infinita, piensan sin embargo que no existe ningún número que sea lo bastante grande como para superar tanta abundancia. Y es claro que, si aquellos que sostienen esa opinión imaginasen una masa hecha de arena tan grande como la masa de la Tierra, incluyendo en ella todos los mares y los huecos de la Tierra llenos hasta la altura de la más alta de los montañas, seguirían muy lejos de reconocer que se puede expresar cualquier número que supere esta multitud de arena. Pero intentaré mostrarte, con pruebas geométricas que podrás entender, que de los números a los que nombré y que incluí en la obra que envié a Zeuxipo [por desgracia, esta obra se ha perdido], algunos de ellos superan no sólo el número de los granos de arena cuya masa es igual en magnitud a la de la Tierra llena de la forma en que lo he descrito, sino también a una masa de igual magnitud que el universo. Como sabes, "universo" es el nombre con el que los astrónomos llaman a la esfera cuyo centro es el centro de la Tierra y cuyo radio es igual a la longitud de una línea recta entre el centro del Sol y el centro de la Tierra. Esto es lo que los astrónomos dicen, y es conocimiento común. Pero Aristarco de Samos escribió un libro en el que exponía algunas hipótesis que conducían al resultado de que el universo es muchas veces mayor que lo que ahora se llama así. Sus hipótesis eran que las estrellas fijas y el Sol están inmóviles, que la Tierra gira alrededor del Sol en la circunferencia de un círculo, con el Sol en el centro de la órbita…
^[73]

De esta introducción sobresalen de inmediato dos aspectos: (i) Arquímedes estaba preparado para poner en duda incluso las creencias más habituales (por ejemplo, que el número de granos de arena es infinito), y (ii) que respetaba la teoría heliocéntrica del astrónomo (en otro lugar del tratado corrige incluso una de las hipótesis de Aristarco). En el universo de Aristarco, la Tierra y los planetas giraban alrededor de un Sol estacionario ubicado en el centro (¡recuerde que este modelo se propuso mil ochocientos años antes de Copérnico!). Tras estas observaciones preliminares, Arquímedes se aboca a la tarea de los granos de arena, avanzando mediante una serie de pasos lógicos. En primer lugar efectúa una estimación del número de granos que puestos en fila son necesarios para abarcar el diámetro de una semilla de amapola. Luego, cuántas semillas de amapola abarcarían la anchura de un dedo, cuántos dedos en un estadio, y continúa hasta los diez mil millones de estadios. Sobre la marcha, Arquímedes inventa un sistema de índices y una notación que, combinados, le permiten clasificar estos descomunales números. Arquímedes supuso que la esfera de estrellas fijas es menos de diez millones de veces mayor que la esfera que contiene la órbita del Sol (según se ve desde la Tierra), halló que el número de granos de arena en un universo lleno de ella sería inferior a 10
⁶³
(un uno seguido de sesenta y tres ceros). La conclusión de su tratado era una respetuosa nota a Gelón:

Imagino que estos hechos, rey Gelón, parecerán increíbles a la gran mayoría de las personas que no han estudiado matemáticas, pero a aquellos que están versados en ellas y han meditado sobre la cuestión de las distancias y tamaños de la Tierra y el Sol y la Luna y el universo entero, la prueba les resultará convincente. Y por ese motivo he pensado que el asunto no sería inapropiado para someterlo a tu consideración.

La belleza de
El arenario
reside en la facilidad con la que Arquímedes pasa de los objetos cotidianos (semillas de amapola, arena y dedos) a los números abstractos y la notación matemática, y de ahí a los tamaños del sistema solar y del universo entero. Arquímedes poseía sin duda una flexibilidad intelectual de tal calibre que podía utilizar cómodamente sus matemáticas para descubrir propiedades desconocidas del universo y también utilizar las características del cosmos para avanzar en los conceptos aritméticos.

El segundo factor que hace a Arquímedes acreedor del título de «mago» es el
método
utilizado para llegar a sus notables teoremas geométricos. Apenas se sabía nada sobre este método ni sobre los procesos mentales en general de Arquímedes hasta el siglo XX. En 1906, un espectacular descubrimiento abrió una ventana a la mente de este genio. La historia de este descubrimiento recuerda tanto a una de esas novelas históricas de misterio del escritor y filósofo italiano Umberto Eco que me siento en la obligación de desviarme brevemente para contarla.
^[74]

En algún momento del siglo X,
^[75]
un escriba anónimo de Constantinopla (la actual Estambul) copió tres importantes obras de Arquímedes:
El método, Stomachion
y
De los cuerpos flotantes.
Probablemente se debió a un interés general por los matemáticos griegos suscitado por el matemático del siglo IX León el Geómetra. Sin embargo, en 1204, los caballeros de la cuarta cruzada decidieron saquear Constantinopla en busca de soporte financiero. En los años venideros, la pasión por las matemáticas decayó, mientras que el cisma entre la Iglesia Católica de Occidente y la Iglesia Ortodoxa de Oriente se convirtió en un hecho consumado. En algún momento antes de 1229, el manuscrito con las obras de Arquímedes sufrió un catastrófico proceso de reciclaje: fue desencuadernado y lavado para reutilizar el pergamino en un libro de oraciones cristiano. El escriba Ioannes Myronas terminó de copiar el libro de oraciones el 14 de abril de 1229.
^[76]
Por fortuna, el borrado del texto original no lo eliminó por completo.