¿Es Dios un Matemático? (5 page)

El área de un cuadrado formado a partir de la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados formados a partir de los otros dos lados. El descubrimiento de este teorema está «documentado» de forma humorística en una conocida tira cómica de «Frank y Ernest» (figura 4).

Como se muestra en el
gnomon
de la figura 2, al agregar un número de
gnomon
cuadrado (9 = 3
²
) a un cuadrado de 4 x 4 se forma, efectivamente, un nuevo cuadrado de 5 x 5: 3
²
+ 4
²
= 5
²
. Los números 3, 4, 5 pueden entonces representar las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo. Los números enteros que tienen esta propiedad (por ejemplo, 5, 12 y 13, ya que 5
²
+ 12
²
= 13
²
)se denominan «tripletes pitagóricos».

Son muy escasos los teoremas matemáticos que disfrutan de un «reconocimiento por nombre» similar al del teorema de Pitágoras. En 1971, cuando la República de Nicaragua seleccionó las «diez ecuaciones matemáticas que alteraron la faz de la tierra» como tema para una serie de sellos, el teorema de Pitágoras aparecía en el segundo sello (figura 5; en el primer sello se mostraba «1+1 = 2»).

¿Fue realmente Pitágoras la primera persona en formular el conocido teorema que se le atribuye? Algunos de los primeros historiadores de Grecia así lo pensaban sin duda. En un comentario a los
Elementos,
el voluminoso tratado de geometría y teoría de números que escribió Euclides (ca. 325-265 a.C), el filósofo griego Proclo (411-485 d.C.) escribió: «Si escuchamos a los que relatan la historia antigua, hallaremos algunos que atribuyen este teorema a Pitágoras, y dicen que sacrificó un buey en honor a su descubrimiento».
^[33]
Sin embargo, los tripletes pitagóricos pueden hallarse ya ni la tableta cuneiforme babilónica denominada «Plimton 322», que se remonta aproximadamente a los tiempos de la dinastía de Hammurabi (ca. 1900-1600 a.C.) Es más, en India se hallaron construcciones geométricas basadas en el teorema de Pitágoras relacionadas con la elaboración de altares. No hay duda de que estas construcciones eran conocidas
^[34]
para el autor del
Satapatha Brah-mana
(el comentario sobre las antiguas escrituras hindúes), que fue probablemente escrito varios siglos antes de Pitágoras. Sin embargo, sea o no Pitágoras el creador del teorema, no hay duda de que las repetidas conexiones halladas que tejían entre sí los números, las formas y el propio universo acercaron a los pitagóricos un paso más a una detallada metafísica del orden.

Otra de las ideas capitales en el mundo pitagórico era la de los
opuestos cósmicos.
Los opuestos constituían el principio en el que se basaba la antigua tradición jónica, de modo que fue algo natural su adopción por parte de los pitagóricos y su obsesión por el orden. De hecho, Aristóteles habla de un médico llamado Alc-meon, que vivió en Crotona en la misma época en que los pitagóricos tenían allí su famosa «escuela», que suscribía la idea de que todo está equilibrado «por parejas». La principal pareja de opuestos consistía en el
límite,
representado por los números impares, y lo
ilimitado,
representado por los pares. El límite era la fuerza que introducía orden y armonía en el desenfreno de lo «ilimitado». La noción era que tanto la complejidad del universo en su conjunto como la intrincada vida humana, en el nivel microcósmico, estaban formadas y reguladas por una serie de opuestos que, en cierto modo, «se correspondían» entre sí. Esta visión bastante bicolor del mundo se resumía en una «Tabla de opuestos», que se conservó en la
Metafísica
de Aristóteles:

La filosofía básica que expresa esta tabla de opuestos
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no se limitaba a la antigua Grecia. El
yin
y el
yang
chinos, en donde el
yin
representa negatividad y oscuridad y el
yang
representa el principio de la luz, ofrecen la misma imagen. Sentimientos parecidos a éstos pasaron a la cristiandad, mediante los conceptos de cielo e infierno (e incluso a declaraciones del presidente de Estados Unidos: «Estás con nosotros o con los terroristas»). De un modo más general, el sentido de la vida siempre ha estado iluminado por la muerte, y la sabiduría sólo es sabiduría en comparación con la ignorancia.

No todas las enseñanzas de los pitagóricos tenían una relación directa con los números. El modo de vida de la cohesionada sociedad pitagórica se basaba en el vegetarianismo, una sólida creencia en la metempsicosis (la inmortalidad y la transmigración de las almas) y una misteriosa prohibición de comer alubias, para la que se han sugerido diversas explicaciones, desde la similitud entre las alubias y los genitales a la comparación entre comer alubias y comerse un alma humana. Esta última interpretación considera que la expulsión de una ventosidad (que suele ser una consecuencia de la ingestión de alubias) es la prueba de la extinción de un hálito. Por eso, en el libro
Philosophy forDummies
^[36]
se resume la doctrina pitagórica con la frase «Todo está hecho de números, y no comas judías o serás el protagonista de un "número"».

La historia más antigua que se conoce acerca de Pitágoras tiene que ver con la reencarnación del alma en otros seres.
^[37]
Este relato cuasipoético se debe al poeta del siglo VI a.C. Jenófanes de Colofón: «Cuéntase que [Pitágoras] pasaba junto a un perro al que estaban golpeando y, apiadándose del animal, habló de este modo: "Deteneos, no lo golpeéis más, pues su alma es la de un amigo; lo sé porque lo he oído hablar"».

Las inconfundibles huellas de Pitágoras se hacen patentes no sólo en las enseñanzas de los filósofos griegos que le sucedieron, sino que se extienden a los programas de las universidades medievales. Las siete asignaturas que se enseñaban en estas universidades se dividían en el
trivium,
que incluía dialéctica, gramática y retórica, y el
quadrivium,
con los temas favoritos de los pitagóricos: geometría, aritmética, astronomía y música. La celestial «armonía de las esferas» —la música supuestamente interpretada por los planetas en sus órbitas que, según sus discípulos, sólo Pitágoras era capaz de oír— ha servido de inspiración tanto a poetas como a científicos. El famoso astrónomo Johannes Kepler (1571-1630), que descubrió las leyes del movimiento planetario, eligió para una de sus obras esenciales el título
Harmonice Mundi
En el espíritu pitagórico, Kepler creó incluso pequeñas composiciones musicales para los distintos planetas.

Desde la perspectiva de las cuestiones en las que se centra este libro,
^[38]
después de despojar a la filosofía pitagórica de sus ropajes místicos, el esqueleto que queda sigue siendo un potente testimonio acerca de la matemática, su naturaleza y su relación tanto con el mundo físico como con la mente humana. Pitágoras y los pitagóricos fueron los precursores de la búsqueda del orden cósmico. Se les puede considerar los padres de la matemática pura ya que, a diferencia de sus predecesores, los babilonios y los egipcios, se dedicaron a la matemática en abstracto, fuera de cualquier finalidad práctica. La cuestión de si los pitagóricos dejaron también establecida la función de la matemática como herramienta de la ciencia es más peliaguda. Aunque es cierto que los pitagóricos asociaron todos los fenómenos con números, su objeto de estudio eran los números en sí, no los fenómenos ni sus causas. Este no era un enfoque especialmente fructífero desde el punto de vista de la investigación científica. Sin embargo, en la doctrina pitagórica era fundamental la creencia implícita de la existencia de leyes generales en la naturaleza. Esta creencia, que se ha convertido en la columna vertebral de la ciencia moderna, podría tener sus orígenes en el concepto de
Destino
de la tragedia griega. Hasta el Renacimiento, esta osada fe en la realidad de un conjunto de leyes capaces de explicar todos los fenómenos iba mucho más allá de las pruebas concretas, y únicamente Galileo, Descartes y Newton la convirtieron en una afirmación defendible desde una perspectiva inductiva.

Otra de las contribuciones esenciales que se atribuye a los pitagóricos fue el descubrimiento aleccionador de que su propia «religión numérica» era, lamentablemente, del todo inviable. Los números enteros 1, 2, 3…, no bastan ni siquiera para construir la matemática, y mucho menos para una descripción del universo. Examinemos el cuadrado de la figura 6, en el que la longitud del lado es una unidad, y llamemos
d
a la longitud de la diagonal.

Es fácil hallar esta longitud si utilizamos el teorema de Pitágoras en cualquiera de los dos triángulos en los que está dividido el cuadrado. Según el teorema, el cuadrado de la diagonal (la hipotenusa) es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados más cortos (los catetos): d22
²
= l
²
+ l
²
, es decir, d
²
= 2. Si se conoce el cuadrado de un número positivo, se puede hallar el número extrayendo la raíz cuadrada (es decir, si x
²
= 9, entonces x. = √9 = 3). Por tanto, d
²
= 2 implica d = √2 unidades. De modo que la relación entre la longitud de la diagonal y la del lado del cuadrado es el número √2. Pero ahora viene la verdadera sorpresa, el descubrimiento que derrumbó la meticulosa construcción filosófica de números enteros de los pitagóricos. Uno de ellos (posiblemente Hipaso de Metaponto, que vivió en la primera mitad del siglo v a.C.) fue capaz de
demostrar
que la raíz cuadrada de dos no se puede expresar como relación de
ninguna pareja
de números enteros.
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En otras palabras, aunque existe una infinidad de números enteros entre los que elegir, la búsqueda de dos de ellos cuya relación mutua sea √2 está condenada al fracaso. Los números que
sí pueden
expresarse como razón de dos números enteros (por ejemplo, 3/17, 2/5, 1/10, 6/1) se denominan
números racionales.
Los pitagóricos probaron que √2 no es un número racional. De hecho, poco después del descubrimiento original, se descubrió que tampoco lo eran √3, √17 o la raíz cuadrada de ningún número que no fuese un cuadrado perfecto (como 16 o 25). Las consecuencias fueron espectaculares: los pitagóricos mostraron que era necesario agregar a la infinidad de los números racionales una infinidad de números de un nuevo tipo, que hoy denominamos
números irracionales.
La importancia de este descubrimiento para el desarrollo subsiguiente del análisis matemático es fundamental. Entre otras cosas, fue el primer paso hacia el reconocimiento de la existencia de infinitos «contables» e «incontables» en el siglo XIX.
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No obstante, los pitagóricos quedaron abrumados por esta crisis filosófica, hasta el punto de que el filósofo Jámblico declaró
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que el hombre que descubrió los números irracionales y reveló su naturaleza a «aquellos indignos de compartir la teoría» fue «tan odiado que no sólo fue expulsado de la comunidad y modo de vida [de los pitagóricos], sino que incluso se construyó una tumba para él, como si su antiguo compañero hubiese abandonado la vida de los hombres».