El hombre anumérico (3 page)

Arquímedes y los números prácticamente infinitos

La arquimedianidad es una propiedad fundamental de los números (llamada así por el matemático griego Arquímedes), según la cual se puede rebasar cualquier número, por grande que sea, agregando repetidas veces cualquier número menor, por pequeño que éste sea. Aunque esta propiedad sea en principio evidente, a veces la gente se resiste a aceptar sus consecuencias, como ese alumno mío que sostenía que el cabello humano no crece a razón de kilómetros por hora. Desgraciadamente, la agregación de los nanosegundos empleados en una operación simple de ordenador provoca largos embotellamientos en los problemas intratables, muchos de los cuales tardarían milenios en ser resueltos. No es sencillo acostumbrarse al hecho de que los tiempos y distancias minúsculos de la microfísica, y también la inmensidad de los fenómenos astronómicos, comparten las dimensiones de nuestro mundo a escala humana.

Está claro, pues, cómo la propiedad anterior llevó a Arquímedes a su famosa afirmación de que si le dieran un punto de apoyo, una palanca lo bastante larga y un lugar donde situarse, podría, él solo, levantar la tierra. La inconsciencia de la aditividad de las pequeñas cantidades es otro defecto de los anuméricos, que por lo visto no se acaban de creer que sus pequeños aerosoles de laca para el cabello puedan atacar en lo más mínimo la capa de ozono de la atmósfera, o que su automóvil particular contribuya, al problema de la lluvia ácida.

Por impresionantes que resulten las pirámides, se construyeron piedra a piedra en un tiempo mucho menor que los cinco mil o diez mil años que harían falta para transportar con camiones el Fujiyama con sus 4.000 metros de altura. Se atribuye a Arquímedes un cálculo parecido, aunque más clásico. Calculó el número de granos de arena necesarios para llenar la tierra y los cielos. Aunque no disponía de la notación exponencial, inventó algo similar, y sus cálculos fueron en esencia equivalentes a lo que sigue.

Interpretando «la tierra y los cielos», como, una esfera centrada en la tierra, empezamos por observar que el número de granos de arena que harían falta para llenarla depende tanto del radio de la esfera como del grosor de la arena. Suponiendo que quepan quince granos por pulgada lineal, cabrán 15 × 15 granos por pulgada cuadrada y 15
³
granos por pulgada cúbica. Como un pie son 12 pulgadas, hay 12
³
pulgadas en cada pie cúbico y por tanto habrá 15
³
× 12
³
granos en cada pie cúbico. Del mismo modo, habrá 15
³
× 12
³
× 5.280
³
granos por milla cúbica. Teniendo ahora en cuenta la fórmula del volumen de la esfera: 4/3 × p × el radio al cubo, veremos que el número de granos de arena necesarios para llenar una esfera de un billón de millas de radio (más o menos la estimación hecha por Arquímedes) es 4/3 × p × 1000.000.000
³
× 15
³
× 12
³
× 5.280
³
, que da aproximadamente 10
⁵⁴
granos de arena.

Esos cálculos llevan aparejada una sensación de poder que resulta difícil de explicar y que implica, en cierto modo, abarcar mentalmente el mundo. Una versión más moderna del problema es el cálculo del número aproximado de bits subatómicos necesarios para llenar el universo. Este número juega el papel del «infinito práctico» de los problemas de ordenador que se pueden resolver sólo teóricamente.

El universo es, siendo un poco generosos, una esfera de unos 40 mil millones de años luz de diámetro. A fin de simplificar el cálculo, seremos aún más generosos y supondremos que es un cubo de 40 mil millones de años luz de arista. El diámetro de los protones y neutrones es de unos 10
^-12
centímetros. La pregunta arquimediana que plantea el informático Donald Knuth es: ¿Cuántos cubitos de 10
^-13
centímetros de diámetro (una décima parte del diámetro de estos nucleones) cabrían en el universo? Un cálculo sencillo da que el resultado es menor que 10
¹²⁵
. Así pues, un ordenador del tamaño del universo cuyas componentes elementales fueran menores que los nucleones constaría de menos de 10
¹²⁵
componentes. Los cálculos de problemas que precisaran de un número mayor de componentes serían imposibles.

Aunque pueda parecer sorprendente, hay muchos de tales problemas, algunos de ellos son comunes y, además, tienen interés práctico.

Una unidad de tiempo comparablemente pequeña es el tiempo empleado por la luz, que va a 300.000 kilómetros por segundo, en recorrer los 10
^-13
centímetros de arista de uno de esos cubitos. Suponiendo que la edad del universo sea de 15 mil millones de años, tenemos que han pasado menos de 10
⁴²
de tales unidades desde el principio de los tiempos. Así pues, cualquier cálculo de ordenador que requiera más de 10
⁴²
pasos (y seguro que cada uno de ellos tardará más que una de esas pequeñas unidades de tiempo) ocupará en realizarse un tiempo mayor que la edad actual de este universo. Como antes, hay muchos problemas así.

Suponiendo que un ser humano tenga forma esférica y más o menos un metro de diámetro (piénsese en una persona en cuclillas), acabaremos con unas cuantas comparaciones biológicamente reveladoras que son más fáciles de imaginar. El tamaño de una célula es al de una persona como el de ésta al de Rhode Island. Del mismo modo, un virus es a una persona como una persona a la tierra; un átomo es a una persona como ésta a la órbita de la tierra alrededor del sol, y un protón es a una persona como una persona a la distancia a Alfa Centauro.

La regla del producto y los valses de Mozart

Este es quizás un buen momento para insistir en lo que dije al principio, que el lector anumérico puede saltarse tranquilamente los trozos más difíciles que vaya encontrando de vez en cuando. En las siguientes secciones puede que haya algunos. Del mismo modo, el lector anumérico puede saltarse tranquilamente los trozos triviales con que se encuentre. (Claro que cualquiera puede saltarse tranquilamente cualquier parte del libro, pero preferiría que esto sólo ocurriera con párrafos aislados.)

La llamada regla del producto es engañosamente simple y muy importante. Según este principio, si una elección tiene M alternativas posibles y otra elección distinta tiene N, entonces la realización de ambas elecciones, una tras otra, admite M × N alternativas distintas. Así, si una mujer tiene cinco blusas y tres faldas, puede vestirse de 5 × 3 = 15 maneras distintas, pues puede llevar cualquier de sus cinco blusas (B1, B2, B3, B4, B5) con cualquiera de sus tres faldas (F1, F2, F3), para obtener una de las quince combinaciones siguientes: B1, F1; B1, F2; B1, F3; B2, F1; B2, F2; B2, F3; B3, F1; B3, F2; B3, F3; B4, F1; B4, F2; B4, F3; B5, FI; B5, F2; B5, F3. A partir de un menú de cuatro entrantes, siete segundos platos y tres postres, un comensal puede elegir 4 × 7 × 3 = 84 comidas distintas, siempre que pida los tres platos.

Análogamente, el número de resultados posibles al lanzar dos dados es 6 × 6 = 36; cualquiera de los seis números del primer dado se puede combinar con cualquiera de los seis del segundo. El número de resultados posibles con la condición de que el segundo dado no marque lo mismo que el primero es 6 × 5 = 30; cualquiera de los seis números del primer dado se puede combinar con cualquiera de los cinco números restantes del segundo. El número de resultados posibles al tirar tres dados es 6 × 6 × 6 = 216. Y el número de resultados posibles, con la condición de que los tres dados señalen un número diferente, es 6 × 5 × 4 = 120.

Este principio es sumamente útil para el cálculo de grandes números, como el número total de teléfonos con que se puede comunicar sin necesidad de marcar prefijo, aproximadamente 8 × 10
⁶
. En primer lugar se puede marcar cualquiera de los ocho dígitos distintos de 0 ó 1 (que rara vez se usan en primera posición), en segundo lugar se puede elegir un dígito cualquiera entre los diez posibles, y así sucesivamente hasta marcar siete dígitos. (En realidad habría que tener en cuenta otras restricciones sobre los números y los lugares que pueden ocupar, y esto rebajaría el resultado a algo menos de los 8 millones). Del mismo modo, el número de matrículas de automóvil de una provincia que se pueden formar combinando dos letras seguidas de cuatro cifras es 26
²
× 10
⁴
. Si se descartan las repeticiones, entonces el número posible de matrículas es 26 × 25 × 10 × 9 × 8 × 7.

Cuando los máximos dirigentes de ocho países occidentales celebran una reunión en la cumbre y posan juntos para una foto, pueden alinearse, de 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 40.320 maneras distintas. ¿Por qué? ¿En cuántas de estas 40.320 fotos posibles aparecerán juntos el presidente Reagan y la primera ministra Margaret Thatcher? Para contestar a esta pregunta, supóngase que Reagan y Thatcher están metidos en un gran saco de arpillera. Los siete objetos de que disponemos (lo seis dirigentes restantes y el saco) se pueden alinear de 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5.040 maneras (hemos vuelto a usar la regla del producto). Este número hay que multiplicarlo luego por dos pues, cuando saquemos a Reagan y a Thatcher del saco les podremos ordenar de dos maneras distintas. Hay pues 10.080 posibles fotos distintas en las que Reagan y Thatcher salen juntos. Por tanto, si los ocho dirigentes se alinean al azar, la probabilidad de que estos dos salgan el uno junto a la otra es 10.080 / 40.320 = 1/4.

En cierta ocasión Mozart compuso un vals en el que especificaba once posibilidades distintas para catorce de los dieciséis compases y dos posibilidades para uno de los dos restantes. De este modo el vals admitía 2 × 11
¹⁴
variaciones, de las cuales sólo se ha interpretado una ínfima parte. En una tesitura parecida, el poeta francés Raymond Queneau escribió un libro titulado
Cent mille milliards de poèmes
que tenía diez páginas, con un soneto en cada una. Las páginas del libro estaban cortadas de modo que se pudiera tomar un verso de cada soneto. Así, una vez escogido el primer verso, se podía elegir independientemente el segundo verso, luego el tercero, etc. Queneau decía que absolutamente todos los 10
¹⁴
sonetos resultantes tenían sentido, aunque lo más probable es que nadie se haya entretenido en comprobarlo.

En general la gente no se hace idea del tamaño que pueden llegar a tener estas colecciones tan aparentemente ordenadas. En cierta ocasión un informador deportivo sugirió en un artículo a un entrenador de béisbol que probara cada una de las posibles combinaciones de los veinticinco jugadores que formaban su equipo hasta dar con el 9 ideal. La sugerencia admite muchas interpretaciones, pero en cualquier caso el número de partidos que habría que jugar es tan grande que los jugadores habrían muerto mucho antes de que se hubieran jugado todos.

Los helados de tres sabores y el truco de Von Neumann

Las heladerías Baskin-Robbins anuncian helados de treinta y un sabores distintos. El número de helados posibles de tres sabores distintos es por tanto 31 × 30 × 29 = 26.970; cualquiera de los treinta y un sabores puede estar encima, cualquiera de los treinta restantes puede estar en el centro y cualquiera de los veintinueve restantes debajo. Si no nos importa el orden en que están los sabores del helado, sino que sólo nos interesa saber cuántos posibles helados de tres sabores hay, dividiremos 26.970 entre 6, con los que obtendremos 4.495 helados distintos. El motivo de esta división es que hay 6 = 3 × 2 × 1 maneras distintas de ordenar los tres sabores en un helado de, por ejemplo, fresa, vainilla y chocolate: FVC, FCV, VFC, VCF, CVF y CFV. Como la misma ley vale para todos los helados de tres sabores, el número de éstos es: (31 × 30 × 29) / (3 × 2 × 1) = 4.495.

Un ejemplo menos engordante lo tenemos en las muchas loterías del tipo loto en las que para ganar hay que acertar una posible combinación de seis números elegidos entre cuarenta. Si el orden en que se eligen los números es importante, hay (40 × 39 × 38 × 37 × 36 × 35) = 2.763.633.600 maneras distintas de escogerlos. Por el contrario, si sólo nos interesa la colección de seis números y no el orden en que se han escogido (como ocurre en esas loterías), entonces hemos de dividir 2.763.633.600 por 720 para determinar el número de apuestas distintas, y obtenemos 3.838.380. Es necesario dividir, pues hay 720 = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 maneras de ordenar los seis números que forman cada apuesta.

Otro ejemplo, de importancia considerable para los jugadores de cartas, lo tenemos en el número de posibles manos de póker a cinco cartas. Si el orden de las cartas es importante, hay 52 × 51 × 50 × 49 × 48 posibles maneras de tener cinco cartas. Como en el juego no importa el orden, dividiremos el producto por (5 × 4 × 3 × 2 × 1) y obtenemos que hay 2.598.960 manos posibles. Conociendo este número podemos calcular varias probabilidades interesantes. La de tener cuatro ases, por ejemplo, es 48 / 2.598.960 (aproximadamente 1 entre 50.000) pues hay 48 manos distintas con cuatro ases, debido a que la quinta carta puede ser cualquiera de las 48 restantes en el mazo.

Obsérvese que los números obtenidos en los tres ejemplos tienen la misma forma: (32 × 30 × 29) / (3 × 2 × 1) helados distintos de tres sabores, (40 × 39 × 38 × 37 × 36 × 35) / (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) maneras diferentes de escoger seis números de entre cuarenta, y (52 × 51 × 50 × 49 × 48) / (5 × 4 × 3 × 2 × 1) manos de póker distintas. Las cantidades obtenidas de este modo se llaman números combinatorios. Salen siempre que queremos calcular el número de posibles colecciones de R elementos escogidos de entre N dados, sin importar el orden en que hagamos la selección.

En el cálculo de probabilidades se puede emplear una variante de la regla del producto. Si dos acontecimientos son independientes, en el sentido de que el resultado de uno de ellos no influye en el del otro, la probabilidad de que ocurran ambos a la vez se calcula multiplicando las probabilidades de que ocurra cada uno de ellos por separado.

Por ejemplo, la probabilidad de que salgan dos caras al lanzar dos veces una moneda es 1/2 × 1/2 = 1/4, pues de los cuatro resultados igualmente probables: (cruz, cruz), (cruz, cara), (cara, cruz) y (cara, cara), uno de ellos es «dos caras». Por la misma regia, la probabilidad de que al lanzar cinco veces una moneda salgan sólo caras es (1/2)
⁵
= 1/32, pues uno de los treinta y dos resultados posibles e igualmente probables es que salgan cinco caras consecutivas.