Miles de Millones (2 page)

Una vez dominada la notación exponencial, podemos operar fácilmente con cifras inmensas, como el número aproximado de microbios en una cucharadita de tierra (10
8
), el de granos de arena en todas las playas (quizá 10
20
), el de seres vivos en la Tierra (10
29
), el de átomos en toda la biosfera (10
41
), el de núcleos atómicos en el Sol (10
57
), o el de partículas elementales (electrones, protones, neutrones) en todo el cosmos (10
80
). Esto no significa que uno sea capaz de «figurarse» un billón o un trillón de objetos; de hecho, nadie podría, pero la notación exponencial permite «pensar» y calcular con tales números. Lo cual no está nada mal para unos seres autodidactas que se bastaban con los dedos de las manos y los pies para contar a sus semejantes.

Los números grandes son, desde luego, una parte esencial de la ciencia moderna; pero no quisiera dar la impresión de que fueron inventados en nuestra época.

NÚMEROS GRANDES

Los números mayores reciben los nombres de cuatrillón (10
24
), quintillón (10
30
), sextillón (10
36
), septillón (10
42
), octillón (10
48
), nonillón (10
54
) y decillón (10
60
). La Tierra tiene una masa de 6.000 cuatrillones de gramos.

Cabe también describir con palabras esta notación científica o exponencial. Así, un electrón tiene un grosor de un femtómetro (10
-15
m); la luz amarilla posee una longitud de onda de medio micrómetro (0,5 mm); el ojo humano apenas puede ver un bichito de una décima de milímetro (10
-4
m); la Tierra tiene un radio de 6.300 Km (6,3 Mm) y una montaña puede pesar 100 petagramos (100 Pg = 10
17
g). He aquí una lista completa de los prefijos:

atto-	a	10 -18	deca-	-	10 1
femto-	f	10 -15	hecto-	-	10 2
pico-	p	10 -12	kilo-	k	10 3
nano-	n	10 -9	mega-	M	10 6
micro-	µ	10 -6	giga-	G	10 9
mili-	m	10 -3	tera-	T	10 12
centi-	c	10 -2	peta-	P	10 15
deci-	d	10 -1	exa-	E	10 18

La aritmética india está familiarizada desde hace mucho tiempo con los números grandes. En los periódicos indios es fácil encontrar referencias a multas o gastos de un
laj
o un
crore
de rupias. La clave es ésta:
das
= 10;
san =
100;
bazar = =
1.000;
laj =
10
5
;
crore =
10
7
;
arahb =
10
9
;
carahb =
10
11
;
nie =
10
13
; padham =
10
15
;
sanj =
10
17
. Antes de que su cultura fuese aniquilada por los europeos, los mayas del antiguo México concibieron una escala cronológica que superaba con creces los escasos miles de años transcurridos desde la creación del mundo según la creencia europea. Entre las ruinas de Coba, en Quintana Roo, hay inscripciones que muestran que los mayas concebían un universo con una antigüedad del orden de 10
29
años. Los hindúes sostenían que la encarnación presente del universo tenía 8,6 X 10
9
años (muy cerca de la diana). Y en el siglo III a. de C. el matemático siciliano Arquímedes, en su libro
El arenario,
estimó que harían falta 10
63
granos de arena para llenar el cosmos. Incluso entonces, en las cuestiones realmente grandes, miles y miles de millones no pasaban de ser calderilla.

No puede existir un lenguaje más universal y simple, más carente de errores y oscuridades, y por lo tanto más apto para expresar las relaciones invariables de las cosas naturales [...]. [Las matemáticas] parecen constituir una facultad de la mente humana destinada a compensar la brevedad de la vida y la imperfección de los sentidos.

J
OSEPH
F
OURIER
,
Théorie analytique de la chaleur.
Discurso preliminar (1822)

L
A PRIMERA VEZ QUE ESCUCHÉ ESTE RELATO
, la acción transcurría en la antigua Persia. Pero pudo haber sido en la India o incluso en China. En cualquier caso, sucedió hace mucho tiempo.

El gran visir, el primer consejero del rey, había inventado un nuevo juego. Se jugaba con piezas móviles sobre un tablero cuadrado formado por 64 escaques rojos y negros. La pieza más importante era el rey. La seguía en valor el gran visir (tal como cabía esperar de un juego inventado por un gran visir). El objeto del juego era capturar el rey enemigo y, a consecuencia, recibió en lengua persa el nombre de
shah-mat (shah
por «rey»,
mat
por «muerto»). Muerte al rey. En Rusia, quizá como vestigio de un sentimiento revolucionario, sigue llamándose
shajmat.
Incluso en inglés hay un eco de esta designación: el movimiento final recibe el nombre de
checkmate
. El juego es, por descontado, el ajedrez. Con el paso del tiempo evolucionaron las piezas, los movimientos y las reglas. Ya no existe, por ejemplo, el gran visir; se ha transfigurado en una reina de poderes formidables.

Por qué deleitó tanto a un rey la invención de un juego llamado «muerte al rey» es un misterio, pero, según la historia, se sintió tan complacido que pidió al gran visir que determinara su recompensa por tan maravillosa invención. Éste ya tenía la respuesta preparada; era un hombre modesto, explicó al shah, y sólo deseaba una modesta gratificación. Señalando las ocho columnas y las ocho filas de escaques del tablero que había inventado, solicitó que le entregase un solo grano de trigo por el primer escaque, dos por el segundo, el doble de eso por el tercero y así sucesivamente hasta que cada escaque recibiese su porción de trigo. No, replicó el rey, era un premio harto mezquino para una invención tan importante. Le ofreció joyas, bailarinas, palacios. Pero el gran visir, bajando la mirada, lo rechazó todo. Sólo le interesaban aquellos montoncitos de trigo. Así que, maravillado en secreto ante la humildad y la moderación de su consejero, el rey accedió.

Sin embargo, cuando el senescal empezó a contar los granos, el monarca se encontró con una desagradable sorpresa. Al principio el número de granos de trigo era bastante pequeño: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1.024..., pero en las cercanías del escaque sexagésimo cuarto las cifras se tornaban colosales, amedrentadoras (véase recuadro a pie de la página. De hecho, el número final rondaba los 18,5 trillones de granos. Tal vez el gran visir se había sometido a una dieta rica en fibra.

¿Cuánto pesan 18,5 trillones de granos de trigo? Si cada grano mide un milímetro, entonces todos juntos pesarían unos 75.000 millones de toneladas métricas, mucho más de lo que podían contener los graneros del shah. De hecho, es el equivalente de la producción actual de trigo en todo el mundo multiplicada por 150. No nos ha llegado el relato de lo que pasó inmediatamente después. Ignoramos si el rey, maldiciéndose a sí mismo por haber desatendido el estudio de la aritmética, entregó el reino al visir o si éste experimentó las tribulaciones de un nuevo juego llamado
visirmat.

EL CÁLCULO QUE EL REY DEBERÍA HABER EXIGIDO A SU VISIR

La historia del ajedrez persa quizá no sea más que una fábula, pero los antiguos persas e indios eran brillantes exploradores en el terreno de las matemáticas y sabían qué números tan enormes se alcanzan al multiplicar repetidamente por dos. Si el ajedrez hubiera sido inventado con 100 (10 X 10) escaques en vez de 64 (8 X 8), la deuda en granos de trigo habría pesado tanto como la Tierra. Una sucesión de números como ésta, en la que cada uno es un múltiplo fijo del anterior, recibe el nombre de progresión geométrica, y el proceso se denomina crecimiento exponencial. Los crecimientos exponenciales aparecen en toda clase de ámbitos importantes, familiares o no. Un ejemplo es el interés compuesto. Si, pongamos por caso, un antepasado nuestro ingresó en el banco 10 dólares hace 200 años (poco después de la Revolución de Estados Unidos) a un interés anual constante del 5 %, ahora nuestra fortuna ascendería a 10 X (1,05)
200
, es decir, 172.925,81 dólares. Pero pocos son los antepasados que se interesen por la fortuna de sus remotos descendientes, y 10 dólares eran bastante dinero en aquellos días ((1,05)
200
significa simplemente 1,05 por sí mismo 200 veces). Si ese antepasado nuestro hubiera conseguido un interés del 6 %, ahora tendríamos más de un millón de dólares; al 7 % la cifra superaría los 7,5 millones, y a un exorbitante 10 % tendríamos la espléndida suma de 1.900 millones de dólares.

Otro tanto sucede con la inflación. Si la tasa de inflación es del 5 % anual, un dólar valdrá 0,95 dólares al cabo de un año, (0,95)
2
= 0,91 al cabo de dos; 0,61 al cabo de 10; 0,37 dólares al cabo de 20, etc. Se trata de una cuestión de gran importancia práctica para aquellos jubilados cuya pensión no aumenta de acuerdo con la inflación.

El ámbito más corriente donde se producen duplicaciones repetidas y, por tanto, un crecimiento exponencial, es el de la reproducción biológica. Consideremos primero el caso simple de una bacteria que se reproduce por bipartición. Al cabo de un tiempo se dividen también cada una de las dos bacterias hijas. Mientras haya alimento suficiente en el ambiente y no exista veneno alguno, la colonia bacteriana crecerá de modo exponencial. En condiciones muy favorables la población de bacterias puede llegar a doblarse cada 15 minutos. Esto significa cuatro duplicaciones por hora y 96 diarias. Aunque una bacteria sólo pesa alrededor de una billonésima de gramo, tras un día de desenfreno asexual sus descendientes pesarán en conjunto tanto como una montaña; en poco más de día y medio pesarán tanto como la Tierra, en dos días más que el Sol... Y en no demasiado tiempo todo el universo estará constituido por bacterias. No es una perspectiva muy agradable, pero por fortuna nunca sucede. ¿Por qué? La razón es que un crecimiento exponencial de este tipo siempre tropieza con algún obstáculo natural. Los bichos se quedan sin comida, o se envenenan mutuamente, o les da vergüenza reproducirse cuando no disponen de intimidad para hacerlo. Los crecimientos exponenciales no pueden continuar indefinidamente porque se lo zamparían todo. Mucho antes que eso encuentran algún impedimento. El resultado es que la curva exponencial se allana (véase ilustración en la página siguiente.)