La incógnita Newton (7 page)

Y me mostró una fórmula escrita en la primera página del artículo, después de la convocatoria del concurso, que decía algo sobre el efecto que
xdx + ydy = 0
tiene sobre la solución gene­ral
y = sqrt(c
²
- x
²
)
. ¡Válgame el cielo!

SU MAJESTAD ha encargado la organización del concurso a una comisión formada por tres miembros. El señor KARL WEIERSTRASS, de Berlín, el señor CHARLES HERMITE, de Pa­rís, y el editor en jefe de su periódico, el señor GUSTA MITTAG-LEFFLER, de Estocolmo.

—Weierstrass es el matemático alemán más venerado y fa­moso de nuestros días —nos contó el señor Morrison—, el pa­dre de todos, por así decirlo, como el profesor Cayley aquí, en Cambridge, quien habría estado en la comisión, dicen, si en ella hubiesen incluido a un inglés. ¿Sabe usted, señorita Duncan, que el señor Weierstrass es muy famoso por haber tenido no sólo «hijos» matemáticos sino también una «hija»? Sí, la fa­mosa Sofía Kovalievskaia fue alumna suya y hace dos años ga­nó el Premio Bordín de la Academia de Ciencias Francesa con un artículo tan interesante que doblaron la dotación económi­ca del premio para recompensarlo como se merecía. Ahora ocupa una cátedra extraordinaria en Estocolmo, trabaja en la redacción de este periódico que tengo en las manos y asesora a Mittag-Leffler, creo, en la organización del Concurso del Ani­versario.

Yo me había quedado atónita. Alemania y Suecia son países con maravillosas ideas sobre las mujeres que quieren estudiar. Inglaterra parece haberse quedado muy atrás (a juzgar, sobre todo, por las ideas expresadas en The Monthly Packet, que ha­ce hincapié en los valores de la obediencia y de la docilidad). Me preguntó si alguna vez tendré la fortuna de visitar dichos países.

El trabajo de los miembros de la comisión fue objeto de un informe estudiado por SU MAJESTAD, y aquí están las conclu­siones que ELLA, quiero decir ÉL, ha aprobado:

Tomando en consideración las cuestiones que, por diferentes razones, ocupan a los analistas y cuyas soluciones serían tam­bién de un gran interés para el progreso de la ciencia, la comi­sión respetuosamente propone a SU MAJESTAD que conceda el premio al mejor trabajo sobre uno de los temas siguientes.

1. Dado un sistema con un número arbitrario de puntos materiales que se atraen mutuamente según las leyes de NEWTON, nos proponemos, bajo la hipótesis de que dos puntos nunca chocan, representar las coordenadas de cada punto co­mo series en una variable, expresada mediante funciones de tiempo conocidas, y que convergen uniformemente para cada valor real de la variable.

—¿Qué demonios significa todo eso? —preguntó Emily con curiosidad.

—Permíteme que lo explique —dijo su tío, animado ante la tarea que tenía por delante. Miró alrededor y, acercándose al anaquel de los juguetes, cogió una pelota y una caja de canicas y se sentó con ellas en el suelo.

—Bien —le dijo—, sabes lo que es la gravedad, ¿verdad? Sabes que los objetos caen al suelo porque son atraídos por la fuerza de la gravedad de la Tierra, que es muy grande si se la compara con dichos objetos...

—Bueno —replicó la muchacha con cautela—, sé que a Newton le cayó una manzana en la cabeza.

—¡Ciertamente! ¡Nadie puede criarse en Cambridge sin saberlo! —exclamó el señor Morrison entre carcajadas—. Y hay cierta verdad en ello, y en la idea de que aquel aconteci­miento desencadenó toda la teoría de la gravedad en su brillan­te mente. Oh, él fue nuestro gran genio y nadie ha conseguido superarlo en los últimos ciento cincuenta años. Newton com­prendió que si tienes un cuerpo gigantesco, como el Sol, por ejemplo —puso la pelota en el suelo— y un cuerpo más peque­ño que se mueve cerca de él —tradujo las palabras en actos con una canica—, éste entrará en la esfera de la gravedad del Sol y empezará a orbitar a su alrededor una y otra vez, sin poder es­capar del poder del astro.

—¿Y por qué no se cae en el Sol, como una canica cae en la Tierra? —preguntó Emily, sorprendida—. Una canica no órbi­ta, qué extraño sería verla volar en redondo sin parar...

—Gracias a Newton y a su ley, tenemos la respuesta a esa pregunta; se debe a que la fuerza de la gravedad es inversa­mente proporcional al cuadrado de la distancia entre los cuer­pos, pero no te devanes los sesos con eso. Baste decir que gra­cias a ello, nosotros, aquí en la Tierra, no nos caemos encima del Sol ni la Luna se nos cae encima. En cualquier caso, antes que Newton, Kepler determinó la forma de la órbita y descu­brió que es una elipse y no un círculo perfecto y que seguirá siendo así siempre. Éste es el problema de los dos cuerpos, uno grande y uno pequeño. Ahora, supón que tienes el Sol y dos planetas. Es el problema de los tres cuerpos, el caso más bien especial que se da en nuestro sistema solar, donde uno es extre­madamente grande y los otros dos, relativamente pequeños. ¿Qué crees que ocurriría?

-—¿No seguirían los dos planetas orbitando en elipse alre­dedor del Sol, como hacen en nuestro sistema solar? —dijo Emily.

—¡Tu respuesta es casi correcta! —exclamó su tío—. Porque imaginas que cada uno de tus dos pequeños planetas tiene una relación de gravedad sólo con el Sol y actúa exac­tamente como si estuviera solo con el Sol, pero olvidas la diminuta influencia de cada uno de esos planetas sobre el otro. Por pequeños que sean, se atraen entre sí y causan distorsio­nes diminutas en la forma de las elipses, y resulta casi impo­sible descubrir cuál será la naturaleza exacta de los caminos que trazarán en el transcurso del tiempo. Mira, tomemos es­te pequeño planeta que se desplaza alrededor de esta estrella. Si el otro planeta pequeño no estuviera ahí, se movería de este modo, girando y girando para siempre en una elipse es­table. Pero ahora añade el otro planeta. Lo que ocurre es que cuando el primer planeta órbita una vez alrededor de la es­trella, su elipse se queda ligeramente deformada por la in­fluencia de la gravedad del otro planeta, por lo que nunca vuelve al mismo punto desde el que comenzó. La diferencia es minúscula... Si hablásemos de la influencia en la tierra de los otros planetas del sistema solar, diríamos que describi­mos una elipse alrededor del sol en un año exactamente y la deformación sería cuestión de unos pocos centímetros, pro­bablemente. Ahora, el planeta orbitará de nuevo alrededor de la estrella, en una elipse muy similar a la anterior pero no del todo idéntica. Y de nuevo no regresará exactamente al mismo punto inicial. Esto ocurrirá y seguirá ocurriendo, de modo que, en vez de obtener una elipse nítidamente trazada cada vez, obtienes una espiral de elipses, cada una un poco diferente de la anterior.

La canica que el señor Morrison tenía en la mano empezó a moverse alrededor de la pelota en una espiral que progresiva­mente se volvió más distorsionada y errática.

—Y la pregunta es —prosiguió con vehemencia—, ¿qué ocurre si debido a las diminutas deformaciones de las elipses por el paso del tiempo, al final terminan por escapar, enloque­cidos, venciendo la fuerza de la atracción y lanzándose sin con­trol al espacio? Al final, eso será lo que ocurrirá, incluso en nuestro sistema solar. ¡No, no te molestes en preocuparte! Los cálculos demuestran que eso no sucederá en muchísimos años, así que tienes tiempo suficiente para estudiar matemáticas e indagar en el problema de los
n
cuerpos.

—Así que ésta es la influencia que ejercen los planetas entre sí —comenté, pensativa—. Es como si describiese el modo en que las relaciones entre los seres humanos distorsionan las relaciones directas y puras entre cada individuo y la Divi­nidad.

—¡Exacto! —exclamó—. Muy bien dicho. Y ahora que lo menciona, conozco a muchas personas que se hallan en el pro­ceso de alejarse de sus investigaciones —que supongo que po­drían considerarse la relación del matemático con la Divini­dad— por motivos de celos, resentimiento, etcétera. A veces, los matemáticos pierden un poco la chaveta. Tal vez sea debido a tanta concentración...

Volvió a fijar la vista en el periódico y siguió con la traduc­ción donde la había dejado.

Este problema, cuya solución expandiría considerable­mente nuestro conocimiento del sistema del mundo —ésta es la extraña expresión que utilizan los franceses para refe­rirse al sistema solar, con el sol y los planetas—, podría re­solverse utilizando los métodos analíticos que ya tenemos a nuestra disposición; al menos, podemos suponerlo, ya que, poco antes de su muerte, LEJEUNE-DIRICHLET confió a un geómetra amigo suyo que había descubierto un método para integrar las ecuaciones diferenciales de la mecánica y que, aplicando este método, había conseguido encontrar una prueba absolutamente rigurosa de la estabilidad de nuestro sistema planetario. Por desgracia, no tenemos nin­gún conocimiento de este método, salvo que la teoría de las oscilaciones infinitamente pequeñas parece haber sido el punto de partida del descubrimiento. Podemos, sin embar­go, suponer con una certeza casi absoluta que este método no está basado en cálculos complicados sino en el desarro­llo de una sola idea fundamental, y podemos razonable­mente esperar que pueda ser redescubierta a base de pro­fundizar y perseverar en el trabajo. Sin embargo, en caso de que el problema propuesto no pueda ser resuelto antes de la fecha del concurso, el premio podrá ser entregado como re­compensa por el trabajo en que se haya tratado de la ma­nera indicada y se haya resuelto por completo algún otro problema de la mecánica.

—Oh, aquí hay algo interesante —nos dijo el señor Morrison—. Dirichlet le contó a un misterioso amigo que había re­suelto un problema fundamental y después murió enseguida, hace unos treinta años, sin dejar ninguna pista acerca de cuál podía ser su método. Qué desconsiderado, por su parte.

—¿Y no podríamos identificar al amigo? —pregunté, espe­ranzada.

—Ya ha sido identificado; en realidad, él mismo se ha dado a conocer, y de una manera un tanto arrogante, dicho sea de pa­so. Es el matemático alemán Kronecker, directo rival de Weierstrass. Afirma que en este párrafo se ha interpretado mal lo que Dirichlet le contó pero, por lo que dice, no tiene ni idea ni un re­cuerdo claro de cuál podía ser el método de marras. Es más pro­bable que su réplica tenga que ver con lo enojado que está por no haber sido incluido en la comisión. Y a continuación, vienen los tres otros problemas planteados para el concurso, pero son mucho menos interesantes.

2. El señor FUCHS demostró en varios de sus artículos que existen funciones uniformes de dos variables, que están rela­cionadas, por la forma en que son generadas, con las funciones hiperelípticas, pero son más generales que éstas y probable­mente podrían adquirir una mayor importancia en el análisis si su teoría se desarrollase más.

Proponemos obtener, de forma explícita, las funciones cu­ya existencia fue demostrada por el señor FUCHS, en un caso suficientemente general, de modo que se puedan estudiar y reconocer sus propiedades más esenciales.

3. El estudio de las funciones definidas por una ecuación diferencial de primer orden, suficientemente general, cuyo primer término es un polinomio con respecto a la variable, la función y su primera derivada, y con coeficientes racionales.

Los señores Briot y Bouquet abrieron el camino hacia di­cho estudio en su artículo sobre este tema (Journal de l'Ecole Polytechnique, cahier 36, pp. 133-198). Los geómetras fami­liarizados con los resultados descubiertos por estos autores también saben que su trabajo dista mucho de haber agotado la di­ficultad y la importante materia que ellos fueron los primeros en investigar. Parece probable que un nuevo estudio que se en­caminara en la misma dirección condujera a proposiciones de gran interés para el análisis.

4. Sabemos la luz que se ha arrojado sobre la teoría gene­ral de las ecuaciones algebraicas mediante el estudio de las ecuaciones especiales que se derivan de la división del círcu­lo en partes iguales y de la división por un número entero del argumento de las funciones elípticas. El importante número trascendente obtenido mediante la expresión del módulo de la teoría de las funciones elípticas por el cociente de los periodos también lleva a las ecuaciones modulares, que han dado ori­gen a conceptos absolutamente nuevos y a resultados muy destacados, como la solución de la ecuación de quinto grado. Pero este número trascendente sólo es el primer término, el caso especial más simple, de una serie infinita de nuevas fun­ciones que H. POINCARÉ ha introducido en la ciencia con el nombre de funciones fuchsianas, y que ha aplicado con éxito a la integración de las ecuaciones diferenciales lineales de orden arbitrario. Estas funciones, que desempeñan un papel de ma­nifiesta importancia en el análisis, todavía no han sido consi­deradas desde el punto de vista del álgebra, como ocurre en el caso del trascendente asociado a la teoría de las funciones elípticas, cuya generalización constituyen. Proponemos llenar esta laguna y obtener nuevas ecuaciones análogas a las ecua­ciones modulares, mediante el estudio, incluso en un caso espe­cial, de la forma y de las propiedades de las relaciones algebrai­cas relativas a dos funciones fuchsianas cuando éstas tienen un grupo común.

—Según dicen los que están bien informados —comentó el señor Morríson—, este Henri Poincaré es uno de los favoritos para ganar este concurso. Se trata de una especie de genio, y to­do su trabajo se basa exactamente en los problemas propuestos más arriba, en cualquiera de los cuatro. Puede dedicarse al que más le apetezca. En Suecia es muy admirado; mirad, ha publicado dos artículos en este volumen. Fue alumno de Hermite, el miembro francés de la comisión. —Pasó unas cuantas páginas y me mostró el primer artículo matemático del libro, escrito en francés por este tal Poincaré y cuyo título exacto es «Sobre un teorema del señor Fuchs», antes de concluir la traducción de la convocatoria.

En caso de que ninguno de los trabajos presentados a con­curso en uno de los tres temas propuestos fuese considerado merecedor del premio, éste podría concederse a un artículo presentado a concurso que contenga una solución completa de un aspecto importante de la teoría de las funciones que no sea ninguno de los que ha propuesto esta comisión.

Las memorias presentadas a concurso deben ir acompaña­das de un epígrafe y con el nombre y la dirección del autor en un sobre lacrado dirigido al editor en jefe de las Acta Mathematica antes del 1 de junio de 1888.

La memoria a la que SU MAJESTAD conceda el premio, así como aquel o aquellos otros artículos que la comisión conside­re merecedores de mención honorífica, serán publicados en Acta Mathematica, y ninguno de ellos podrá ser publicado previamente.